LIVRE DELXifcME

Si ff— 3’, on vôrilicia de même: i® que les suhstitulions île G, en nombre f 3’ — I ) (3’ — 3} = '|rt, iléi'iveni des suivantes :

2 " que les groupes

A, B, C, 0. E. (B, E. t>, Kl. (C. 0. E), lO. Ej. (E

ont res|ieelivemcnl pour ordre 4^, a4. 4* *1'>® chacun d'eux est

permulabic aux subslilulions du précédent. Les facteurs de composition cliercbés seront donc a. 3, a, a. a.

§ IV. — (illOtrPES PRIMAIRES.

131 . Un groupe U, contenu dans le groupe linéaire du degré m", est dit primaire, lorsque ses substitutions, combinées au groupe K formé des substitutions

donnent un groupe primitif.

// n’existe aucun groupe primaire si rn n'est pas un nombre premier. En effet, .soit P un diviseur de m-, répartissons les m" lettres considérées en systèmes, en groupant ensemble celles dont les indices, divisés par p, donnent le meme système de restes. Il est évident que toute substitution linéaire, ain^i que toute substitution de F, remplacera les lettres d’un système par celles d’un même Système. Le groupe dérivé de ces substitutions n’est donc pas primitif.

I 32. Soit maintenant m égal b un nombre premier p : on aura ce tbéori-me :

Théorème. — Pour que le groupe F soit primaire, U faut et il suffit qu’on ne puisse dàerminer aucun système de fonctions distinctes y, y',... des indices X, x',..., aP~‘, en nombre moindre que ces indices, et jouissant de la propriété que chaque substitutions de F remplace chacune des fonctions y, y’,... par une fonction linéaire de y, y',....

Dos fonctions y, /',... sont dites distinctes si elles ne sont liées par aucune

relation linéaire (elle que ^

. r}- + r' }•' -t- . . ■ s= O I iiiod. i>

143. I* Cette condition est nécessaire. En effel, supposons qu’elle iic soil pas remplie. On pourra prendre y, y'.... pour indices indépendants, à la place d'un pareil nombre d'indices de la suite x, x’,..., x"''. Soit en ellel y. ■ ax ■+ jîx' -h... : l’un au moins des coenieienisa, (3,..., par exemple «,

différera dc'o (mod./;), cl l'on pourra évidemment prendre y, x', T’ '

pour indices indépendants à la place de x, x' x"'*. Exprimons y' en

fonction de ces nouveaux indices; soit y"' ^.ar'y -f- |B'x' 4- Comme, par

liypothèsc, y' et y ne sont liés par aiirune relation linéaire, l'un au moins

des coefTicients par exemple différera de o (mod./<). On pourra

donc prendre y, y',..., x"*‘ pour indices indépendants à la place de y. x' x” etc.

Cela posé, les substitutions de ]' prendront la forme '

I r,y',..., x“ ’ ay-e 6y «'y + é'y'-t-..., .... n‘~'y-e 6""'y'+-...-e<f ' ' |,

et celles de F, accroissant évidemment de quantités constantes les <|uaniilés y, y',... fonctions linéaires des indices primilifs. prendront la forme

Si maintenant l'on répartit les lettres en systèmes, en ÿtroupanl en.semlile celles pour lesquelles y, y',... ont le même système de valeurs, il est clair que chaque substitution de T ou de F remplacera tes lettres de chaque système par celles d’un même système. Le (troupe dérivé de ces Huhslitulioii.^ n’est donc pas primitif.

144. 3" Cette condition est suffisante. Car nous allons démontrer qu’elle ne saurait être remplie, dans l’hypothèse où les substitutions de F, comhinées avec celles de F. ne formeraient pas un groupe primitif.

Considérons deux lettres quelconques appartenant à un même système, et soient respectivement x„, x'„, x’„,...; x, 4- a„, x’„4- sr',... . les va-

leurs des indices qui les caractérisent : F contient la suhsliluliun

qui remplace la première de ces lettres par la, seconde. Cela posé, la suhsti-' lotion .S„ remplace une lettre quelconque x,, x',, x", ... par une lettre

Ili I.1VKE DEl’XIÉSIE.

.J-’, -i x\+ laquelle appartiendra néeessaircnienl au

luêuie système.

Kn effet, eotisidérons la subslitutiun

lillc reiuplaee les (leux lettres ,r„. .r'„. et J*-*- a’„,

respeelivement par x,, x, et x, -t- a„, x’ -k a', et

eoniuie les deux premières lettres appartiennent à un même système, il en est de même, par liypotlièse, de celles qui leur suerèdent.

Iktnr F ronlirnl (les suhslilulivns telles efur S,, qui ne dèphtcent pas les i>.vtemes et sont differentes de l'imite. ^

I i.'i. Suit

une de ees substitutions : l'une au moins des constantes a,, dit-

fere de o (mod. p); soit par exemple sr„5 o (mod. /)]. Prenons pour indires indépendants, au lieu de x, .t', .r",..., les suivants :

V — X, y' — x’ — — X, r' r • X, . . . niud. /> .

La substiluliun S„ prendra la forme.

et relies de F prendront la forme générale

Les puissances de S„ ne d(’-jibirent pas les systènu-s : si F rontieut une substitution nouvelle

dillèrente de relles-lâ et (jui ne déplace pus les systi'ines, la substitution' .

S, s, >• — j y, , y' .. . . v' jî',, y" 'i'„. . . j

ne les déplacera pas non plus, et comme par hypolbè.se elle ne se réduit pas à l’unité, l'un au moins des çoelTicients jS'„, sera différent de o(iuod./>). Soit par exemple jS'„ < o ( mod . . Prenons pour indices indépendants, au

DES SllBSTITlTIONS Mit

lieu (le y, y', y“ les suivants :

s=?,r. i'iST^y-, Z =)■' (mod./>).

On aura

les substitutions de F prenant la forme

Les substitutions de la forme SI S* ne déplaeent pas les systèmes : si K contient une substitution nouvelle S„ différente de celles-là, et qui ne les déplace pas non plus, on pourra déterminer comme précédemment une transformation d'indices qui mette S„, S,, S, sous les formes suivantes :

S, = I «, H I, II', . . j,

8, = I M, II', M, u'-t-i,

S, = I U, tt", . . . -4- I .... I ,

les substitutions de F étant de la forme

I II, II', u",. . . 11 + 3, II' + 3', u" + 3" ,, . .

On continuera ainsi jusqu'à ce qu'on ait épuisé le nombre des substitutions (|ui ne déplacent pas les systèmes ; on atteindra toujours ce résultat avant d'avoir épuisé le nombre total des substitutions de F; car ce groupe, étant transitif, contient des substitutions qui permutent les systèmes entre eux.

146. Supposons donc, pour fixer les idées, que les substitutions So, S, et leurs dérivées S% soient les seules dans F qui ne déplacent pas les systèmes, et soit

une quelconque des substitutions de F. Les transformées de So, S, par 1 ne doivent pas déplacer les systèmes, et d'autre part elles doivent faire partie de F : elles sont donc de la forme SJSÎ. Soient donc