S,2 = S^S^, 2-S,2 = Sî'S

lies relations, pour être satisfaites, exigeront, entre autres conditions, les

IJi

UVRE DEUXtÈMF,

suivantes :

L(‘s roiu'liuiis sont donc indépendantes de - et de 3'. Donc 2 rem place les indices i",... par des fonctions de ces seuls indices. Donc la condition imiiquée au théorème n’est pas remplie.

S V. — l'oRMK CASOrtlQUR DES SUBSTITUTIOSS LISÉAIRES.

l-i7. Soient G un groupe linéaire de degré ff (p étant premier): A = I Æ-, x', . . . ax + bx' + . . . , a' X -i- b’ x’ -i- |

l’une de ses substitutions. Proposons-nous de la ramener, par une transformation d’indices, à une forme aus.si simple que pos.sible.

.V remplace la fonction linéaire

par

y-^xx -t- ^x' -t- . . .

a[<ix -e Ax' 3( a' X I- A' x'

expression qui se réduit à K v si l’on a

(1) aa -t- 3a' -t- . . . !>â Kot, xb t- ^A' t- . . . as K^,. . . (mod.p).

Ces relations détermineront sans ditliculté les rapports des quantités a, ^,... si la constante K satisfait à la congruence

la — K a' ... I

A A'- K ... “O (mod.p).

Cette congruence, que nous appellerons congruence caraclerislu/ue de

est du degré n, et peut avoir jusqu'il n solutions difl’érentes, K„. K

K,|. Soient dans ce ras a„, |3o,...; a,, ,3,,...;... les systèmes de valeurs correspondantes des a, ^ on verrait ai.sément que les fonctions

mes SUBSTITI TIONS liri

sonl (Jislincles. En Ins prenant pour indices indépendants, on ramènerait la subsliliilion A à In forme simple

Mais le nombre des racines réelles de la congruence en K peut cire inférieur à 71 : on SC trouve donc naturellement conduit, pour généraliser les résultats, à introduire les racines imaginaires dont il a déjà été i|uestion au Livre I".

148. Décomposons le premier membre de la congruence en facteurs irré-

ductibles. Soient F un de ces facteurs, / son degré : F étant égalé à o (mod./i) donnera / racines imaginaires distinctes, K„, KC = K = satis-

faisant toutes à la congruence

K (niu(l./>).

\ chai|ue valeur de K, telle (|ue K„, correspondront un ou plusieurs systèmes de valeurs pour les rapports des quantités a„, (3„,..., en vertu des relations (2). Si ces rapports sont complètement déterminés, les diverses fonctions y„= a„x-y^„x' + correspondantes à la valeur K — K„sont toutes

des multiples de l'une ijuclconque d’entre elles : mais il peut arriver que le système des relations (2) présente quelque indétermination: même en ce cas. il est clair que les diverses fonctions y relatives à cette valeur de K .seront toutes des fonctions linéaires d'un certain nombre d’entre elles, y„, y’„,... qui soient distincifs, c’est-à-dire ne soient liées entre elles par aucune relation linéaire

'■'.y', -e . , - O (mod.p),

r„, r’„,... étant des entiers réels nu complexes formés avec l’imaginaire qui a été introduite.

Les cociricients de chacune de ces fonctions étant des fonctions

rationnelles de Ko, qui ne sont déterminées que par leurs rapports, on peut les supposer entières, et réduites au degré / — i au plus au moyen de la congruence du degré / à laquelle K„ satisfait.

149. Soit U„ = /{x.x',..., K„) une fonction linéaire quelconque de .r, x',... dont les coefficients soient des entiers complexes formés avec l’imaginaire K„. La substitution A remplacera évidemment U» par une autre fonction de même forme V„= yfx, a-',..., K„).

Illi UVRE DEUXltCMB.

Cda posé, A renyilacera chacune des fonctions \}^=:f[x, xf Kp), ‘onjii-

jfuèes de U„. par les fonctions Vp = ç(x, x',..., Kp), conjuguées de Vp.

lin cffcl, ordonnons les divers termes de Up et de V„ suivant les puissances de Kp, et soient

U, U U/-I , V, e, vv, étant des ronetions réelles de x, x',....

Pour que la substitution réelle A remplace üp par V„. il faut évidemment

qu'elle remplace séparément u, u par v, e Donc elle remplacera

l'p = « -(- «, Kp KJ“' par Vp = e + e, Kp »>, K|“‘.

En particulier, les fonctions -jae A multiplie /mr Kp sont les conjuguées de celles qu elle multiplie par s’exprimant linéairement au moçeti

de y„. Vp, . . . , leurs conjuguées s’exprimeront linéairement au moyen de

vr',