Les fonctions y„ y„, y^, y\ sont toutes distinctes. Car

supposons qu’on ait entre elles une relation linéaire telle que

{ 3 ) r. y, + r', f, -h s, y, -t- t, y, sso,

t,. /j étant des entiers réels ou imaginaires.

La substitution A transformera r,y, -4-r]y\-h s, y, ■+- t, y, en

Celle expression doit être identiquement congrue à o (mod.^). Si on en re- Iranclie le premier membre de la congruence initiale multiplié par K,, il viendra

(K, — K,)(r,y, -I- /.y-'J-t-fK,— KJj,y. — o.

La substitution A transforme cette congruence en

(K, — K,) K,(r,y, -t- r', y',) + ( K, — K,) K,»,yi o.

Si de cette dernière relation on retranche la précédente multipliée par Kj, il vient

(K, — K,)(K, — K,)(r,y, -t-r',y',) = o, ideulitc qui peut être mise sous la forme

m, y, -+■ ni, y, s— o,

m,, m\ ,... étant des fonctions de l’imaginaire K,. Remplaçant K, par sa con-

DES SCBSTITITIOSS. HT

juguéü K„. oe qui ne (rouble pas l'identité, il viendrait

m.jr, 4- m',/, = o.

Les fonctions r,, ne seraient donc pas distinctes, comme nous l'avons supposé.

131. Les fonctions Vo, y„, Vf.y, étant distinctes, peuvent être prises pour indices indépenilants h la place d’un nombre égal des indices primitifs x, x' a;"”' (H3) ('). Cela fait, et m étant le nombre de

ces fonctions, la substitution k se trouvera r^luite à la forme

X“ + bT ■¥■ .

..4-c7x-' d'Ty. 4- «7/.

0^' X" 4- x^‘ ff- .

..-4- c7"‘ X"-' 4- rf;-' /«4- e7"'y,4-..

Celte forme est compliquée d'imaginaires; mais il serait facile de les faire disparaitre. En effet, groupons ensemble dans l'expression de cbucun des indices y,, les termes qui sont multipliés par la même puissance

de K„. Soit

,r, = Y. 4- K,Y, KJ-’Y/^,, /. = Y, -e K.V, -e . . .4- K'-'Y;„. . on aura, en changeant K en Kp,

Les fonctions distinctes y„ Vp, peuvent donc s’exprimer en fonction d’un nombre égal de fonctions réelles Y’,, Y', Y',,, Y",,.

Y",,..., Y'i,,...; ces dernières fonctions seront donc elles-mêmes distinctes, et pourront réciproquement s'exprimer en fonction de y„,. y, par rinver.«ion des relations linéaires qui les lient à ces dernières quantités. Prenons Y'„, Y Y'/,, Y"„,..., Y",,.... pour indices indépen-

(*} Il semble à peine nc€e&&airo de faire remarquer que les indices supérieurs doni plusieurs lettre sont afTerti'es dans ce |Yassage ne sont juts des exposants.

MK

UVBU DKUXIKMK

liants à la place de y,, y, y^, /, — La subslilution A. remplaçant jp, y, par des fondions de ces seules <|uantités,

remplacera chacun des nouveaux indices Y„, Y, Y,. Y'„, Y', Y),,...

par une fonction de Y„, Y Y/,, Y’„, Y',,..'., Y),,... seulement. Elle

remplacera en outre x" par la fonction

en désignant par dY„ -i sY', -r- . ■ . 4- d' Y'„-r . . . ce que devient la quantité

rf"' V, -+- eT.v'n -é • ■ • lorsqu’on y substitue pour y„, y, y

leurs valeurs en Y,, Y, Y'„ Cette fonction doit être réelle, et comme

les indices x”, Y’„, Y, sont tous indépendants les

uns des autres, il faudra que chacun des coefficients o7> K--"' £•••••

soit réel. On verrait de même que chacun des coefficients a"'' < '

sera nécessairement réel.

152. Soit ). le nombre des fonctions distinctes y„, y, La substitu-

tion .Y a pour congruence caractéristique

D'ailleurs la trausl'urmatiou d’indices n'a pas altéré le premier membre de cette congruence (126) : donc son premier membre était divisible |iar (K„ — K)’ {K, — K)’... = F*, et le produit de ses autres facteurs irréductibles était égal au déterminant

fi7- K /»7 ... I

< ' ly,-' ... k

Soit F' un (|uclconque de ces facteurs (si le déterminant est encore divisible

par F. nous choisirons de préférence ce dernier facteur). Soient K’, les

racines de la congruence F' = o, la substitution

^ cT* • ' ^

DES SUBSTITUTIONS. • I |<i

pourrai), il’aprês ce <|iii précède, se meure sous la forme

X"»*' -t- . . . C7"™ X" * -t- fouet. Un. do (3„ z, 3 )

aî“'x”‘*' -t- e^' x""‘ -i fond. lin. de (3„ s',,. ï )

eÇ*”' c^' étant dos coeflicients réels, et a,, s, étant les

fonctions linéaires distinctes que la substitution C multiplie respectivement par Kg, K',,...; fonctions dont les coefficients sont des fonctions entières de Kg, K',,... et des cocfUicients cj'‘.

Si l'on applique la même transformation d’indices à la substitution .V, elle deviendra évidemment

K'.3. fond. (^„ y,,..

K',3’,-i- fond.

■ ■ • y'tt • • • ï

K', 3, -1- fond. (/., .

. H- cr*~ X"-’ -(- fond. (y„ /„ 3„ s„ . .

. . a- rï-'x*-' -1- fond. (.n,.r', yi,---,z„ z’,,..

On pourra maintenant lui appliquer la transformation qui simplifie la substitution

Continuant ainsi, on arrivera finalement è ramener la substitution A à la

lin • LIVRE IIEIXIÈME.

rorine suivante :

! r- iv 'v,/

Zft • • •

Ztt • • •

K* «. -h Vf,»

• *. Vil y,.. . s*,. .

où. pour plus (le nclteté, nous avons mis sur une même ligne les indices analogues.

153. La réduelion ne s’arrête pas là. Supposons en eflêt, pour fixer les idées, que les deux facteurs F', F" soient égaux à F, mais que le suivant F' diffère de F. On aura Ko = K'„=K„ : au contraire, les racines de F"=o seront essentiellement distinctes de celles de Fso. Remplaçons chacun des indices e,,... par on nouvel indice iv, de la forme suivante :

ic. = c, p, U, H-. -I- T. Z, + . . . + 17, Z, -I-. . T,/.-+-T, .r', •+. . .-I- —

il est clair que .V remplacera par une fonction de la forme •'T'c. -t- r»- • - , z„. . Z, « ).

(iela posé, il existe une manière et une seule de choisir les indéterminées P,y>> 5i T», t'o Tl.-”, de telle sorte que la fonction x” s’évanouisse. En effet, les coeflicients respectifs de a, z,,..., v,.

y'n y dans cette fonction ont les formes suivantes :

(K7— K,)p, -I- a, (K7— K.) cr, -+- ép, -(- c, (K"— K,) a, (/p, -i- e

et, en les égalant à o(mod./j), on déterminera successivement les valeurs

de P s, a,,... sans impossibilité ni amhiguîté, les multiplicateurs

K'— K,, K"— K,,... étant tous différents de o (mod./>).

15i. Les nouveaux indices rv, ainsi substitués aux e, dépendent

de V,,..., U,,..., y», y'o,..., y qui sont eux-mêmes liés

aux indices primitifs par des relations contenant les deux imaginaires K„

DES SUBSTITUTIONS lil

t‘l K„. Il semble dom’ au premier abord (|uc les expressions de eu

fonction des indices primitifs |iuissenl contenir h la fois ces deux imaginaires : mais on voit aisément t\u elles ne contiennent d'autre irmininaire que K;. •

Kn effet, nous avons vu {151 ) (jue les indices imaginaires r,, v'n.*--. v,,

y'i .... dépendent d'un nombre égal de fonctions réelles Y,, Y , Y,, Y',

et réciproquement. De même lesz„ z ; dépendent d’un nombre

égal de fonctions réelles Z Z,,...; U,, et réciproquement. Kntin

. e. e déperidront de même de certaines fonctions réelles V„ V,

Soient e„=/(V, V e, ==/, V ces relations:

V, V V, e,,...),... les mêmes relations

renversées. Prenons pour indices indépendants les fonctions réelles ci-tles-

sus : il est clair que la substitution A remplace Y„, Y’, A',. Y',...:

Z, Z,,...; U„,... par des fonctions de Y'„, Y'„ Y,, Y',...; Z„ Z,,...:

r,,... seulement et V, V,,... par des fonctions de la forme

nV, + ... -t- éV. — ronct.( V., V,,. . . , Y., . : Z Zi, L ).

I.es imaginaires ajant été éliminées, les coeflicients de ces fonctions seront tous réels.

On peut maintenant se proposer de remplacer V, V par d’antres

indices W,,.... \V, de la forme

W, s V, fonct.{ V„ V V„ Y',,. . .: Z Z„ . .; l!„. . :)

et choisis de telle sorte que les fonctions par lesquelles .4' les remplace .se réduisent simplement à la forme

(J W, O- Il W , -t- ... .

Ce problème comporte toujours un système de solutions et un seul. Kn effet, on y satisfait évidemment en remplaçant

par

",=/'(«• ic j \V, ., ic...

Réciproquement, soit fWo [W,J,... un système quelconque de solutions de ce problème : prenons pour indices indépendants j„, r'„

v,, y',,...; î. î ; u„,... avec [«<„]=/( AV,],..., [\V,

f\V,j,...),.... 11 est clair que la substilulion A rcm-

|)laCC|-H ftVoJ,...

moni : mais w.