XX -h^x' -t
a,x, -t- p, jr’, a', a: -I- p',x', ■+■
une de ses substitutions : le premier membre de sa congruence caractéi-is' tique est évidemment divisible par le déterminant
Mais son ordre étant une puissance de p, sa congruence caractéristique a toutes ses racines égales à l’unité (161). Donc A, égalé à o (mod./>), a toutes ses racines égales à l’unité.
Cherchons à déterminer des fonctions des indices x, x' *»-•> que B,
multiplie par un facteur constant : ce facteur s’obtiendra en résolvant la congruence A = o (147). Il se réduit donc à l’unité : les fonctions cherchées ne seront donc pas altérées par la substitution B,. Soit a’ le nombre des fonctions distinctes des indices x, x',..., que cette substitution laisse inaltérées : on peut supposer qu’elles aient été prises pour indices indépendants et se confondent respectivement avec x,...,
181. Cela posé, soit B', une autre substitution de E, : étant échangeable
aux substitutions A. elle remplacera x et en particulier
X,..., x'e'-D par des fonctions des seuls indicés x,..., D'ailleurs on
doit avoir l’égalité B,B', = B',B,, et pour cela il faut évidemment que B',
remplace x x''*'"'’, que B, n’altère pas, par des fonctions que B, n’altère
pas non plus, c’est-à-dire par des fonctions des seuls indices x,.,., x'>*''*'’.
Soient «x -t- . . . -t- 7x*e'-'> «'a'-'jj. ces fonctions.
La congruence caractéristique de B*, contiendra évidemment en facteur le <iéterminant
ytr'-O-K
ui) ' LIVRE DEUXIEME.
Mais scs racines sonC toutes égales à l’unité. Donc cc déterminant, égalé à O (mod./>), aura toutes ses racines égales à Tunité.
Clierclions à délenniner les fonctions de x,..., que B", multiplie
par un facteur constant. Cc facteur s'obtiendra en résolvant la congruence A'so. Il se réduit donc à l’unité. Soit ii" le nombre des fonctions distinctes de X,..., (|ue B', laisse ainsi inaltérées : on peut supposer qu’elles ont été prises pour indices indépendants et se confondent avec x
182. Soit maintenant B’ une autre substitution de E, : elle remplacera ■r,..., par des fonctions de ces seuls indices. En outre, étant échangeable à B’,, elle remplacera x,..., que B', n’altère pas, par des
fonctions que B', n’altère pas, c’est-à-dire par des fonctions de ces seuls indices.
On voit ensuite qu’il existe des fonctions dex,..., x't*""" que B' n'altère pas, etc. Poursuivant ce raisonnement, un arrive à ce résultat :
H existe certaines fonctions des indices x x'>*“'* qui ne sont altérées pàr
aucune des substitutions B,, B',,... du faisceau E,.
Soit fl, le nombre de celles de ces fonctions qui sont distinctes : on peut admettre qu’elles sc confondent avec x,..., Cela posé, chacune des
substitutions de E,, telle que B,, remplace respectivement les indices de la première série x,..., x*'*'"", x^*’,..., x^'> par des fonctions de la formo suivante :
X, . . . , x>.— ), ai'.) x>.' -t- . . . -t- yi?.) xC‘-'> -4- çl'i', . . . , aO"') aK'il -4- x''-'> 4-
9***’’ étant des fonctions dcx,..., x'^””.
183. Posons maintenant B, =CD, C étant la substitution qui remplace les indices x''*'',..., x’>^'> par
H yO*!! «>>- O xo*.) 4- . . .-f- yo^'>xl^‘>,
et leurs conjugués par les fonctions conjuguées, sans altérer aucun des nutres indices. Décomposons de même chacune des substitutions If, , B',... en un produit de deux facteurs, et soit B', = C'D', B”, = C"D" Les sub-
stitutions C, C', C",... sont échangeables entre elles. Car si C n’était pas échangeable à C', il est clair que B, ne le serait pas à If,. En outre, chacune de ces substitutions a pour ordre une puissance de p. Car pour qu’une puissance de B, SC réduise à l’unité, il faut évidemment que la puissance correspon-
DES SUBSTITUTIONS HT
dante de C s« réduise à l’unité. Donc l'ordre de C est égal à celui de lî,, ou le divise : donc il est une puissance de />.
Appliquant au groupe (C, C', C’,...) les raisonnements laits pour le groupe (B,. B',, B',,...) (180-182), on voit qu’il existe des fonctions des
indices que C. C', C",... n’allèrent pas, et que, par suite, B,,
B',, B',... accroitront simplement de certaines fonctions de x,..., x'‘‘-~". Soit /X, le nombre de ces fonctions, on pourra supposer i|u’elles se confondent avec x'f*’
184. Poursuivant ce raisonnement, on obtient le résultat suivant :
Ijts indices de la série x,..., x''*”'* peuvent être choisis de manière à se répartir en liasses telles, que chacune des substitutions de IC, laisse invariables les indices de la première classe, et, plus généralement, n’ait d'autre effet que d'ajouter aux divers indices de chaque classe certaines fonctions des indices des classes précédentes.
Dans les séries conjuguées de la série x on prendra |^our indices indépendants ceux qui sont conjugués dex Chaque substi-
tution de E, les remplaçant par les fonctions conjuguées de celles par lesquelles elle remplace x,..., xt^' (14!)), ils se trouveront tout naturellement répartis en classes, conjuguées de celles de la première série.
185. Si les indices X,..., x'*’"" ne forment que deux classes, il est clair que toutes les substitutions définies par la propriété précédente sont échangeables entre elles, et peuvent être contenues simultanément dans E, . S’il y a plus de deux classes, il n’en est plus ain.si, et de nouvelles recbercbcs seraient nécessaires pour préciser la forme de ce faisceau : mais nous remettrons cette étude .à une autre occasion, les résulUits déjà démontrés étant suflTisants pour les applications qu’on trouvera dans cet ouvrage.
Voici pourtant quelques résultats particuliers dont on retrouvera aisément la démonstration, et qui donneront quelque idée de la grande variété de formes dont le faisceau E, est susceptible :
i” Si chaque classe ne contient qu'un seul indice, les substitutions de E, peuvent être mises sous la forme
I X, x' xtr-o X -t- ax' + bx" ex '~''', x' -i- nx" -e éx” -+■ xt'" o |.
Réciproquement, les substitutions de cette forme sont toutes échangeables entre elles et peuvent être simultanément contenues dans E,.
a® Si les a. indices x, x',..., x"^"” se partagent en trois classes, conte-
IW LIVRE DEUXIÈME.
liant respectivement i , /x — 2, i indices, désignons par x l’indice unique qui forme la troisième classe, par v,,..., ceux qui forment la seconde, par s celui qui forme la première : les substitutions de E, pourront être réduites à la fois à la forme générale suivante :
■ -i- a,y,-h. . .+ + . xz,. , j-,+ b, i,. . z |,
les cocllicicnls a,,..., a étant quelconques, et les coefficients b, déter-
minés par les relations
( et b^,saa,,, lorsque p < m -t- 1,
( b, =a,, lorsque c>ï»i.
m étant un enlier constant nul ou positif, mais dont le double ne surpasse pas (i — 2.
Réciproquement, toutes les substitutions de cotte forme sont échangeables entre elles, et peuvent appartenir à la fuis à E,. On aura ainsi pour ce faisceau autant de types généraux distincts qu’il y a de manières de déterminer m.
3® Si, au lieu de p. indices, on en avait pi-f-i, x, x', St ré-
partis en trois classes, qui contiennent respectivement 2, pi — 2, 1 indices, on obtiendrait pour E, des types variés. Nous en citerons quelques-uns, qui se rattachent immédiatement à ceux que nous venons d’examiner. Leurs .substitutions sont les suivantes :
X ■+■ rt,y, -+- .
où a,,..., a,,..., et, |3 sont quelconques; b,,,.., b^, sont déterminés par les relations (6): et les coeflicients sont liés entre eux par les relations suivantes, où p, p' sont supposés </n-t-i, et 5, c' > 2m :
Pour avoir l’ordre du faisceau ainsi déterminé, on remarquera que le nombre des coefficients qui restent indéterminés dans l'expression (7) après qu’on
ti»
il tenu compte d« relations (G) et (8) est de fi ■+- —»>. r.ha-
«■un d’eux est d'ailleurs susceptible de/»’ valeurs distinctes, v étant le nombre des séries conjuguées à celle que l'on considère.
186. Thkohkme. — Soient G un faisceau dont les substitutions soient linéaires et échangeables entre elles ; F er E les deux faisceaux partiels dans lesquels il se partage ; û l’ordre de F. Parmi les substitutions qui accroissent les indices de nombres constants, il en existe plus de G qui sont échangeables à toutes les substitutions de E.
Cette proposition, qui sert de lemme essentiel à des démonstrations importantes, découle très-naturellement de ce qui précède.
Réduisons en effet les substitutions de F à leur forme canonique (176-I78j; et supposons que les nouveaux indices se partagent en systèmes, contenant respectivement pv, p'v',... indices, respectivement répartis en v, v',... séries. Les substitutions de F, multipliant chacune tous les indices de la première .«érie du premier système par une même puissance de i (177), sont tontes de la forme S'S,, S étant la substitution qui multiplie ces indices par t, et S, une substitution de F qui laisse invariables ces indices, et, par suite, leurs conjugués.-
Cela posé, soit q le degré de la première des puissances successives île i qui se réduit à i (mod./j); ce nombre divise/»'— i; car fêtant racine d’iinc conRCUcnce irréductible du degré v, on aura f'’’“'^t. Soient d’autre part S',, S',,... celles des substitutions de F qui laissent invariables les Indices du premier système; IF le nombre de ces substitutions. Les diverses substitutions de F s'obtiendront évidemment. en posant successivement a = o, I,..., q — t et S, =S', , S’,,... dans l’expression S*S,; et leur nombre Û ser,i égal » qü'.
On verra de même que ü'=r^'Û'', q' étant un diviseur de — i. et U' l'ordre du groupe partiel formé par celles des substitutions de F qui laissent invariables les indices des deux premiers systèmes. Poursuivant ainsi, on trouvera enfin que Û est un diviseur de (/»'— 1)(/>''— i)....
Cela posé, chaque substitution de E résulte de substitutions partielles exécutées sur les indices des divers systèmes (179). Supposons les indices choisis dans cbacun de ces systèmes de manière à se répartir en classes, comme il est indiqué (184). Soient x, j,... les indices, en nombre X. de la
dernière classe de la première série du premier système; a;,, y ;...;
*v-i, y'*- ceux des classes conjuguées de celle-lb. Soient de même
