I.’ü) UVRE DEUXIEME
3f, y',... les indices en nombre de la dernière classe <l^a première série du second système; x\, y’,,...;...; ceux des classes conju-
ïiuées, etc. On aura ainsi indices appartenant aux- dernières
classes de leurs séries respectives. Chaque substitution de E accroîtra simprcinent ces indices de fonctions linéaires des indices «. v,... appartenant aux classes précédentes, et remplacera ces derniers par des fonctions linéaires de u, v,... (I8i).
Il résulte évidemment de là que les substitutions de E sont échangeables
à toute substitution 2 qui accroit respectivement x, y,. x^i.^y. ;
x', y'',...;...; x'y,, de constantes a, fi, et,.,,
a', /3',.. aÿ,, sans altérer u, v Or si l'on prend pour
a, fi,... des fonctions entières quelconques de i; pour a^, leurs conjuguées; pour a, P',... des fonctions entières quelconques de l'imaginaire i', analogue à i, etc., il est clair que 1 ne sera imaginaire qu'en apparence, et prendra la forme réelle lorsqu'on remplacera les indices imaginaires ,x- = X -t-îY par les indices réels X, Y,..., Z,.... Mais a, fi....
peuvent être choisis chacun de />' manières; a', jS',... de manières, etc. : * doue les substitutions distinctes de la forme 2 sont en nombre ^
nombre évidemment supérieur h O, même dans le cas le plus défavorable, oii l’on suppose X = X' = ...= t.
Substitutions permutables aux faisceaux précédents.
187. Soit, comme précédemment, G un faisceau de substitutions linéaires, échangeables entre elles : et cherchons à déterminer les principales propriétés du groupe I formé par les substitutions linéaires qui sont permutables à G.
188. Thkokèms. — Si G contient des substitutions dont l'ordre ne soit pas premier à p. I ne pourra être primaire.
En clfet, soit E le faisceau partiel formé par celles des substitutions de G dont l’ordre est une puissance de p (173). Les transformées de ses substitutions par une substitution quelconque de I appartiendront à G, par liypotbèse, et auront pour ordre une puissance de p. Donc elles appartiendront à E : donc £ est permutable aux substitutions de I.
D’ailleurs il existe certaines fonctions des indices que les substitutions de E laissent invariables (179-182). Ces fonctions peuvent s’exprimer linéai-
