LIVRE DEUXIEME

iar f [Xf X ,, , , f jTf y f, .

iinv fl*iS substitiitinns de 1. La (ransfoniiéu de A par S prend la forme

• •) / {ax, ax\.

.., br, br',

..) f'{ax, ax',.

.., by, by'.

..) f, (ax, ax\.

. . , by, by',

•■) f,(ax, ax',.

. , by, by’,

cl comme elle appartient à F, par hypothèse, elle devra multiplier par un même facteur constant les indices de la première série.. Si donc on a

f (X, x',.'.., x> y'f ■■) = xx -t-a, jr'-t-. jî.r + p, f'{x, x' X, = a'x a', ar* 4-... . + PV

et si K est le facteur constant, on aura

i a.ax 4-a,oa:'4i-...-t-p6> 4-p, ér'-*-...= K(aa -ea, a'4-...-+-py (9) ! a'ox-t-a',<ia:'4-...-t- P'iv-t- P',éy'-+-...î=lv{a'x4-a',a' + ... y'

Tous les coelTicients a, |3, p, ne peuvent être à la fois con-

grus à ïéro. Soit donc, par exemple, /5^o (mod./>). Les indices x et .v n'étant pas de la même série, il existe une substitution au moins dans hfaisceau où l’on a a^ifmod.^). Les conditions (9) relatives à celle substitution donneront

(K — 6)P==o, (k— fe)p,=!o (K — <i)a=o, (K— n)a.so

d’oil

Kæ:A, (6 — n)aŒ(i — a)ai=...:s(6 — a)a'=(é — a)a', s...sjo.

ou, roinme a\b (mod./)),

DES siiBSTrnmoNs.

a » s ... s ât' s a', s ... B O.

Ainsi, tous les eoeHicienls de /, sont con);rus à zéro, sauf les coefficients |3, ^ ; qui multiplient les indices y, y', — Nous ob-

tenons donc ce premier résultat :

PiioposiTioB I. — Chaque substitution de I remplace les indices d’une même série x, x',... par des fonctions linéaires des indu es y, y’,-., d'une seule et même série.

190. Les fonctions linéaires de y, v',... que S fait succéder à x, x',... doivent être toutes distinctes, pour que le déterminant de S ne soit pas congru à zéro : mais le nombre des fonctions distinctes que l’on peut former avec les indices y, y,... est au plus égal au nombre de ces indices : donc le nombre des indices y, y',... est au moins égal à celui des x, x',....

D’autre part, la substitution S“', qui fait partie de 1, remplaçant certaines fonctions de y, r',... respectivement par x. x',..., remplacera v, j'',... par

des fonctions dans lesquelles entreront ces indices x, x' D’ailleurs ces

fonctions ne doivcntcontenir les indicesque d’une seule série (Proposition I).

Donc S~' remplace y, y',... par des fonctions des seuls indices .r, x"

lesquels devront être en nombre au moins égal h celui des indices y, y', pour que le déterminant de S'* ne soit pas congru à zéro. On a donc le résultat suivant :

Puoi'OsmoN 11. — Le nombre des indices de la série y, y',... est précisément égal à celui des indices de la série x, x',.:..

191. La substitution A multipliant y, y',... par b, nous venons de voir que sa transformée par S multiplie x, x',... par b. D’ailleurs elle fait partie de F. La suite des coefficients b, b',..., par les*|uels les diverses substitutions de F multiplient y, y',..., est donc identique, à l’ordre |>rcs, à la suite des cocflicicnts a, a,... par lesquels elles multiplient x, x’,.... Donc, si a. a',... s’expriment au moyen d’une imaginaire i, de degré v, il en sera de même de b, b',...; cl le système qui contient la série y, y',... sera formé de V séries, comme celui qui contient la série x, x',.... Ces deux systi'mes peuient d’ailleurs être dilTérents, ou su confondre en un seul.

Soit d’ailleurs Xp, x\ .... l’une des séries conjuguées de la série x, x

La substitution S. rem|daçanl x, x',... par des fonctions de y. y' rem-