Nous obtenons donc la proposition suivante

TiiéoRÈMK. — Choisissons les indices indépendants de manière à ramener les substitutions de F à la forme eanonitfue ; ^roufionsles en séries et ces séries en systèmes, comme il est indii/ué plus haut : enfin, groupons les systèmes en classes, en réunissant ensemble ceux qui contiennent le même nombre d'indices, ré/jartis dans le même nombre de séries :

Chaque substitution de I remplacera les indices d'une même série fuir des fonctions de ceux d'une même série : teux d'un même système par des fonctions de ceux d'un même système : ceux de chaque classe par des fonctions de ceux de cette classe.

193. Prenons mainlenaut pour indices indépendants, dans chaque .système, au lieu des indices imaginaires considérés jusqu’à présent, les fonctions réelles en nombre égal dont ils dépendent (178). Il est clair qu’après ce cbangement comme avant, les indices d'un même système seront remplacés dans chaque substitution de. I par des fonctions de ceux d'un même système, et ceux de chaque classe par des fonctions de ceu.v de cette même classe.

Donc s’il existe plusieurs classes, I ne sera pas primaire (1 i2).

194. Revenons maintenant aux indices imaginaires, et supposons, |iour plus de simplicité, qu’il n’y ait qu’une seule classe, contenant ). systèmes

formés chacun de v séries, contenant chacune u indices. La substitution S, icinpiaçant les indices de clia<|ue système par des fondions de ceux d’un même système, est évidemment égale à TU, T. étant une substitution qui permute les systèmes entre eux de la même manière (|ue S, mais on remplaçant les uns par les autres les indices correspondants, et U une substitution qui ne déplace plus les systèmes. D'ailleurs S et T étant réelles, et remplaçant les indices d'une même série par des fonctions de ceux il’iinç mémo série, U=T“'Sjouira évidemment des mêmes propriétés. Kn outre, elle

sera le protluit de substitutions partielles U,, II, altérant respeelivement

les indices du premier système, ceux du second, etc.

(iherebons la forme de l'une de ces substitutions partielles. U, par

DES SUBSTITUTIONS. ISS

exemple. Supposons que U, remplace a:/"" par des fonctions

de : on aura évideimnent U, — Mî'N,, M, étant la substi-

tution qui remplace en général x''' parar^*,, et X, une substitution qui remplace x„ x\ par des fonctions de ces mêmes indices. D’ailleurs U,

et .M, étant éviilemment réelles, il en est de même de N, : donc N, rempla-

ceriXr, x', x'jr'^ par les fonctions conjuguées de celles par lesquelles

elle remplace x,, x'„ x'J^'K Donc N, sera île la forme suivante :

■ XX, -1- ^x', -1- . .

. X'' Xr + x',. y- . .

On aura de même = Mj et Nj étant analogues de forme à M,

et N,, etc. Donc enfin l’on aura

S = TMVN,MVN,....

195. Réeiprm|uement, toute substitution de cette forme est permutable ,^u groupe dérive des substitutions

x', ax„ ax'„..., a'' x„ af'x\,...

car ses composantes T, M,, X,, M,, N,,... le sont évidemment. Si donc K contient toutes les substitutions de la forme A, I contiendra toutes celles de la forme TMi' N, Mp Nj..., dont le nombre est égal à

i.a. .. y[v{pr-— ijtpi"— />•)... (pi"

comme on le verra aisément.

Si, au contraire, F ne contenait qu’une partie des substitutions de la forme A, il se pourrait que I ne contint qu’une partie des précédentes.

§ VII. — GboUPË OIITHOr.ONVl.

(iènèraUtèi.