Une substitution linéaire

S = I X, )■, 3,... nx-i-by + cz-i-..., a'x ■i-b'y-^-c’z -t-..., n" xy b"y-+ c“ z +

ao.

i:» UVRE DEIXIËME.

est dite orthogonale, si l'on a identiquement

r’ + 2’-+-. -t- 6/ + ca + .••)’ + (u'a: + l>'y + c'a + |

* d'où les relations

I «' +...= /<> -4- A'> ~tb"‘ ^c’ +c” I ,

I ab-t- a'b'+ a' b" •h,..eaac + a'c'-^a' c“ ^ 6e + 6V4 6"c"+ = 0.

Les substitutions orthogonales forment un groupe. Car soient S,, S, deux semblables substitutions : toutes deux laissant invariable la fonction x’-i-j’-t- (aux multiples près de p), leur produit la laissera égab(iiicnt invariable : il sera donc orthogonal.

La substitution orthogonale S a pour réciproque la suivante

S, — |x, /, 2,,.. €ix + a'y-t-a~ s+..., bx -^-b'y+b’ s + ..., c'2 + | :

car si l'on tient compte des relations (10). on voit que SS, se réduit à l’unité.

Les puissances d’une substitution ortliogonaie étant elles-mêmes ortbogo»' nales. S, le sera : d'où le nouveau système de relations

i «’ +b‘ -+-C' -4- I IJ ‘

) na' -h bb' -h cc'

’xza'' -t-c'' -H...

-- im” -trbb“-<- ce' = a' a’ + b' b' + c'e'-t- . . .

Réciproquement, les relations (10) peuvent se déduire des relations (i i^; car si S, est ortliogonaie, sa réciproque S le sera.

Les deux substitutions S, S, ont évidemment le mémo déterminant, d: leur [iroduit a pour déterminant dC .Mais il se réduit à l’unité : donc d’ = 1 . Donc toute substitution orthogonale a son déterminant congru à ± 1.

La recberclie de l’ordre du groupe ortbugonal se lie étroitement, comme on va le voir, à la résolution des congruences du second degré à plusieurs inconnues.

Congruences du secottd degté à plusieurs inconnues"