l’aouLèMC. — Hésoudre la congruence

a, x’ -h a, x\ ^ k ( niod. p ),

P étant un nombre premier impair, et a,, a,, k des entiers dont les deux premiers soient non divisibles par p.

DES SUBSimmONS.

Posons a, x, : la congruence devient (i») 4- a, <j,x| A",

ft deux ras sont à distinguer :

i“ Si — a, a, est un résidu quadratique de p, congru h un carré ).*, nous poserons

^ + Xxi = v, Xx, = «,

d’où

U tf V — «

et la congruence deviendra

va æ a, A'.

Si A'^o (mod. />), on pourra prendre pour v l’un quelconque des entiers I, — i: et la congruence déterminera la valeur correspon-

dante de U : on aura donc p — i solutions.

.Si k—o, on pourra prcndre^esi, — i avec mso, ou e=o

avec U = O, i , a ' : total , a/> — i solutions.

2° Si — a, a, est non résidu quadratique de p, soit i une racine de la congruence irréductible — a, a, (mod. p), l’autre racine sera — i, et l'on aura

X'-t-a, a,x’,^{x+ ixi){x+ i>x,)^(/-t- ix,)r*'.

Posant J -t- IX, = Z, on se trouve conduit à chercher le nombre des racines réelles, ou exprimables au moyen d'une imaginaire du second degré, que comporte la congruence

zf*’^aik (mod. p).

Si A = u, on n’aura évidemment qu’une seule solution, z 5 u, d'uii x=y=o.

.Si A^o(mod. p), soit u une racine primitive de la congruence i,

et suit a, k = i<l*; on a

d’où ou enfin

sæ I (mod./)), — i)iso (mod.^’— i),

15d LIVRE DEraiÈME.

m ('tant un entier. On peut poser d’autre part s = uf. Substituant, il vient

d’où

H'fr+i) (iiiod.y)),

t[p + i) (mod. p’— i).

conj{ruenec (|ui admet les racines suivantes •. m, m p — t , m + 3{p — i)

Parmi ces racines, il en existe évidemment p+ i incongrues suivant le module p"‘—i. Les valeurs correspondantes de a' ^ z—y -h ix, donneront P 4- 1 systèmes distincts de solutions pour la congruence propos(H'.

198. THKosiME. — Soit un symbole égal à o, à \ ou à — i, suivant tfue X sera divisible par p, résidu ou non résidu quadratique de p. Im suite ( ~ ) ’ ( ^ ) ’ " ' ’ p ' j ’ présentera ^ ' variations de signe.

En effet, la congruence -.^x^ + i (mod. p] a, d’après ce qui précède, p — I solutions. Ces solutions sont de trois espèces: i“ Celles où x~-o, ysL- ± I, au nombre de deux, a" Celles où x’sso, y^ = a -t- i, a étant uti résidu suivi d’un résidu dans la série des nombres naturels. Soit 9 le nombre des valeurs de a satisfaisant à ces conditions : chacune d'elles donnera quatre solutions, les signes de x, j étant tous deux ambigus.

Enfin on pourra poseras o, a’ -f- 1 5^ o, ce qui donne deux solutions si p — i = — t est résidu quadratique, et n’en donne point s’il n’est pas résidu.

1“ Soit d’abord = t . Le nombre des solutions de la congruence

y ’ s jr’ -t r sera 3 + 49+2=/’ — d’où 9 = ^ ^ ' — 1 . Le nombre

total des résidus quadratiques dans la série 1, a,..., p — i est ; nous

venons de voir que ^ ^ ' — 1 d'entre eux sont suivis de résidus; le dernier, p—\, n’est suivi d’aucun terme : il en reste donc suivis de non

résidus. En d’autres termes, la suite pré.sente pas-

.sages du signe + au signe —, Mais le premier et le dernier terme ont le signe + : le nombre des passages du signe — au signe + sera donc le même que celui des passages du signe + au signe — , Le nombre total des

variations sera donc

nES SURSTlTUnONS.

a" Soit = — I. On a p — i =34-4'?. <l’où 9 = Le nombre

(les résidus suivis de non résidus sera ^ '■ — ç = ^ ^ ■ Il y aura donc

passages du signe -t- au signe — dans la suite (^ —)•

Mais le premier terme a le signe + et le dernier le signe — : le nombre des passages du signe — au signe -t- sera donc inférieur au précédent d’une.

unité et égal à — i , et le nombre total des variations sera encore •

199. TiiKORèsiE. — Le nombre des systèmes de solutions de la congruence a, x] -4- a, x] -t- . — = /i’ (niod. />)

où a,, flj,..., <ij„ sont (mod. p) est égal à p^"~' — ou à fp"-' ■+■ {jp — fp-' ) V, suivant qu'on a k^o o« A s o ( mod . p), v désignant

/>our abréger le symbole

La vérité de ces formules dans le cas où « = 1 résulte du n° 197. Nous allons maintenant prouver (|uc si elles sont vraies pour n = f et n = m, elles sont vraies pour n = l + m.

La congruence

(i3) a, x] <t, x\ -i- . . . + a,fi^)XÎat.„)^ h

é(|uivaiit aux deux suivantes ;

(i4) rt, a-; -i-

y étant une nouvelle indéterminée.

1“ Soit d’abord X-^o (mod. p). Pour toute valeur dej différente de o et de k (mod. p], la congruence (1.4) a, par bypotbèse, /)’'' • — //“’X solutions, et la congruence (i5) en a p^"-* — p”-' p, en posant, pour abréger,

Pour jso, elles ont respectivement y»"'”' -h X cl y»’"- ' — y#"'"' a

solutions. Enfin, pour )(ss A, elles en ont — y»'"' et y>”"' — y»'"'' J, u.

tuo LIVKE DECXIÈME.