I.c nombre total des substitutions chercbées sera donc

ip- p^--p-<ui)

+ {p^‘- pi-^}.)[p»-' p^<)p]+(p»-' — pF-'iji)[p^‘-^{pi- p^-)'t.]

— — pi** • Xu,

et, comme ).p. = v (16). la formule se trouve démontrée.

a“ Soit X- = o. Posons d'abord v<o (mod.^), puis yso, et sommons les solutions correspondantes à ces hypothèses : le nombre total obtenu sera

(p-i){p'‘-'-p‘-')){p^'—ir-‘p)-i-[p'^' + {p‘—p^')).][p^'-i ip-~pr^')u]

200. Théokème. — Le nombre des systèmes de solutions de ta congruence (il>) rt.xi -t-a,xj +...-t-a„+, isA (mort./»).

est p*“— p^v', en posant pour abréger v'= ' j.

Kn effet, la congruence (i6) revient aux deux suivantes :

(18) a,xi +.. . + = / ■ — .V.

La congruence (17) admet la solution xso si^E=o, et les deux solutionsxsî — ^si «1 vest un résidu quadratique r*; elle n’en admet aucune

si a, y n'est pas résidu. D’autre part, le théorème précédent donnera le nombre de solutions de la congruence (i8) pour chaque valeur de . v. Posons, pour abréger.

on aura en tout

DES SUBSTITUTIONS. Kil

systèmes de solutions, suivant que fi sera égal à o, i ou — i . Dans les trois ras, en opérant les réductions et remplaçant ;jtv par v', on tombera sur la formule à démontrer.

Ordre du groupe orthogonal.

201. TiiÉOHf.ME. — L'ordre du groupe 'orthogonal de degré ff' {p étant premier im/Htir) est égal à P, P,., ... P,. P, désignant le nombre de solutions de la congruence

xJ + a: J -t- . . X,’. s I ( 100(1. P ).

Kn efïet, soit Q, le nombre des substitutions orthogonales S, S',... qui

lai.ssent invariable l'un des n indires x. y, z le premier par exemple.

et soit T une substitution uribogonale qui remplace x par une certaine fonction ax ■+■ by -t- cz h- .... Les Q„ substitutions orlbogunales TS, TS',... remplacent x par a.r by -t- cz + .... Réciproquement, toute substitution orthogonale U qui produit ce remplacement fait partie de la suite T.S, TS’....; car T“' U, laissant x invariable, fait partie de la suite S. S',....

Soit donc R„ le nombre de fonctions différentes par les(|uellcs les diverses substitutions orthogonales remplacent x : l’ordre Û„ du groupe orthogonal sera égal à R„Q,.

D’ailleurs, si l’on pose dans les relations (ii, a i, b cr— ...=-o, elles donnent a'~ a'= . . . = o; et les autres eoetlicients b\ c',...; b", c",. se trouveront liés entre eux précisément par les relations qui caractérisent l’orthogonalité dans le cas de « — i indices. Donc Q„ est égal à Ü„-, : on aura donc