pRKMiEit CAS : « = a

stitiition

— I.a pi'oposilion est éviilenle:

nx -I- by, — bx ay ]

ear la snle

est orthogonale et remplace x par a.r ■+■ by.

20!f. Secoso cas ; quantités i — a’, i — exemple.

n = !}. — Im proiMsilion est vraie, si quelqu'une, des b^, I — c* est résidu quadratique de p. (^ar soit, par

I — A- srf

on a, par hypothèse,

rt’-l- b’ 4- I,

Donc il existe une suljslilulion orthogonale

<|ui n'altère pas x, et remplace y par y.v + y a. dette substitution, eoinbinée aux suivantes

A = 1 X, )■, Z y, X, i |, B = ! X, y, i Ax 4- />'. — <x 4 by, z ;,

(|ui sont également orthogonales, donne la substitution .Md), laipielle sera orthogonale, et remplaeera x par ax ■+■ by 4- cz.

20-1. La proposition est vraie pour les nombres «, b, c, si elle l’est /K>ur les

nombres a, AjS — cq b', cj? -i- bq = c' , |9, y étant deux entiers quelœnques

satisfaisant à la relation y’ss i . üir. s’il existe une substitution orthogonale S )|ui remplace x par ax -h b'y-t-c'z, celle substitution, combinée à la suivante

1)=. I X, r, s X, ^y4-ys, — y r 4- |,

laquelle est orthogonale, donnera la subslilulinn I)~'S, laquelle remplace .x par fljr 4- 4- cî.

OES Sl’BPTmTIONl« l(W

205. (j'Ia |»()S(', si<lmo(tons que cliîtciine des (pinntitr.s i — i — />*, I — e''' suit nulle (■) ou non résidu qinidratique de /». Deux cas scroni à

distinguer, suivant rhy|)otlii-se (|uc Ton fera sur le sif;ne de (~'V

Vremiére hypothèse : = — i. — On pourra choisir ^ et :/ de telle

sorte que i — //’ soit résidu ou nul.

lûu elTct. supposons h' connu : on a

A.î— ey = //, d'oii

Substituant cette valt ur dans la relation /S’-i-y* i , il vient une conjtruencc du second degré en y, (|ui ne peut avoir plus de deux racines. Donc, parmi les systèmes de valeurs de j5, y, en nuinbrc p -t- i (*07), qui satisfont il la relation /i’ -h y’"~ >, >1 en existe au plus deux (|ui donnent la même valeur à b'. Si donc on fait varier p et y, b’ prendra au moins

valeurs distinctes. Mais le nomlirc des valeurs distinctes de b’ pour

lesquelles i — //’ est un non résidu est seulëment car i — 5'“ et i

étant non résidus, //'— i sera résidu. On devra donc prendre pour//* — i

l’un lies ^—7-^ résidus suivis de résidus dans la série des nombres naturels :

it chacun d’eux correspondent d’ailleurs deux valeurs de //. Doue, parmi les valeurs dislincles de //, il en est une au moins telle, que i — //'* soit résidu ou nui.

200. Si I — /»'* pouvait devenir résidu, la proposition serait déinoutri e (203-204). Supposons donc qu’il devienne nul. On prouvera comme tout il l’heure : i" que la proposition .sera vraie pour a, b', d (et par suite pour a, b, c), si elle l’est pour au — c'â^ a', b', ad ■¥ c'a. — c",a et d satisfaisant ii la relation a“ que «, d peuvent être choisis de

telle sorte que i — a'* soit nul ou résidu. .Mais un a

(*} Nuus cuiimioUons intf à dt'Sèein, et pour éditer |»ériplini^», une k^gère inoxacuiuiii* Je

langage. Ce que nous dibon» d«« quantité» o, b, r, i — i — A*, i — etc., doit »>nU*ndre, non

de ces ciUiprs eux-mèmDs. mai» du rc»tc de leur division |)ar p.

»6i UVBE DEtXIÈSIE.

et, si l’on avait i — a'*= i — b'‘= o, il viendrait c"® = — i, résultat absurde, -- I étant non résidu. Donc i — a'* sera résidu, cl la proposition sera vraie.