Seconde h^-pothcte
ui satisfont à la relation /S’-t-
I . — Les systèmes de valeurs de jS, •/ I seront en nombre ya — i , et les va-
leurs correspondantes de b' en nombre - moins. Ce nombre est égal
à eclui des valeurs de b' pour lesquelles i — b'^ (ou, ce qui revient au même, 6’’ — i) est non résidu; donc, en faisant varier p, y, on donnera à b' toute la suite de ces dernières valeurs, ou une valeur telle, que l’on ail I — //’==o, ou enfin une valeur telle, que i — b'^ soit résidu. Excluant ce dernier cas, dans lequel la proposition serait démontrée, on pourra supposer b‘ égal à ± I nu à un entier d, clioisi à volonté dans la suite de ceux qui sont tels, que i — d' soit non résidu.
On voit de même : i“ que la proposition sera vraie pour a, b', c' (et par suite pour a, b, c) si elle l’est pour ax — c'J==a', b', ad -i-c'a — c”, x et à satisfaisant à la relation a’ -f- d’sr i ; a" que a et d peuvent être choisis de telle sorte qu'on ait a'=:ni ou a'=d‘, d' étant un entier choisi à volonté dans la même suite que d.
2ü8. Cela posé, trois cas sont à distinguer ;
.1® Soit a'.^ ± I , <('== ± I . La proposition sera vraie pour a', //, c" si elle l'est pour à'^a'i — f»'Ç, f«"==a’Ç -e A's, c" (i, Ç satisfaisant à la relation !'■' -t- Ç’= i). Or l'on pourra faire en sorte que i — a"’ soit résidu. En elfet, a'*, b'\ e’-4-Ç’ se réduisant a l’unité, i — a"* se réduit à xa'b'i^. Soient d’ailleurs X un entier tel que l'on ait X’= — i, et e un entier arbitraire : on aura (197)
e.\pression qui sera résidu si et v* — i sont à la fois résidus ou non
résidus. Mais Gauss a montré (Tfieoria rtsiduorum biquadralicornm Commenlalio prima, 16-21) que l'on peut déterminer e de telle sorte que e* — i soit à volonté résidu ou non résidu. Donc on pourra toujours faire en sorte que I — a"* soit résidu, ce qui démontre notre proposition.
DES SIBSTITL’TIONS. I<«
209. 2“ Soil a'=±i, b'=±d. La proposition sora vraie si I — c*’ = a'* + 6'“ = 1 -(- </’ est résidu. Mais d est l'im quelconque des entiers tcl.s, que i — d' soit non résidu: il pourra être choisi de telle sorte que I -t- rf’ soit résidu. En effet, considérons la suite des nombres naturels 1, 1,..., P — i\ clic contiendra au moins un résidu qui soit à la fois suivi d’un ré.sidu et précédé d’un non résidu. Car si a est résidu, /> — 3 le sera \ p — ’i, p — /|,... pourront l’être également; mais on finira par tomber sur un nombre p' qui ne sera plus résidu ; et le nombre p' -t- i sera le résidu eberclié. Supposons, au contraire, que 3 soit non résidu : parmi
les ^ ^ ' — 1 résidus supérieurs à 2, il en existe au moins un qui soit suivi d’un résidu. Car si chacun d’eux, sauf le dernier, était compris entre deux non résidus, la suite ^ j ~ '’sriations,
tandis qu’elle n’en prés*cnle que ^ (') (198,. Soit 1 le premier
résidu suivi il’un résiilu; ce sera celui qnc nous cherchons.
Posons maintenant d'^ = p' + 1: rf’ — 1 sera non résidu : donc, — 1 étant résidu, 1 — d' sera non résidu et i -t- d‘‘ ré.sidu.
210. 3“ Supposons enfin qu’il soil impossible de choisir jS, y, a, & de telle sorte que l’un des deux nombres a', // se réduise à ± 1 : on pourra faire en sorte qu’ils so réduisent à rf' et à d, ces deux entiers étant quelconques, pourvu que 1 — d', 1 — d'^ soient non résidus.
Remarquons, d’ailleurs, qu’en tenant compte des relations
un aura identiquement
(/ '-4- c"’sES n'’-4- h’’ -4- c"’ = a' -4- c'*= a’ -e é' -4- r’ ^ 1 .
Donc, de quelque manière qu’on choisisse d et d', on pourra satisfaire de deux manières a la relation
(ïo) (/’-4-</’’-4-
car il sullira de poser d'~ db c".
(•) Si /i = 5, on a ^ ^ ‘ — 3, et la dénionel ration |)ivcéden(c est en ilCraiit ; mai» alors 014
peut poser 2, d'où c”aa 1 — a'* — 1. ün aura donc à la foi» a'«a i; 1, r" î» ± 1, et l'on
retombe ainsi sur le cas discuté au n* 208, vu I analogie du réle joué (lar les eoetlicienu b' et r*.
tw. uviu; mXMKME,
Cflii posf, — I clam cl i — rf® ne rclaiil pa.s. d‘ — I ne le sera
|ia.s, cl |iuui satisraii'c à celle cimditinu il suflil île poser «/— r, r’ élaiil l'un IJ iiclcoii(| ne lies ^7— résidus qui sonl précédés de non résidus (I OH .
Donc d peul éire rlioisi de inaniiTes; de même pour d‘. Si donc on elioisil d cl d', puis d~ de lonles les manières possililcs, on oliliemlia J '// — i)’ sysièmes de solutions à la congruence faO;. I>a proposiliun sera
vraie pour a, b, c, si elle l’esi pour l'un quelconque de ces syMèa es. liaielle est vraie pour a, b, c, si elle l’est pour d, d', c”\ mais elle le .scia pour d, d', c", si elle l'esl pour d, d', — c" : car .soieni S la siibslitullon orllioguuale qui remplace x par f/x — d'y — c" z, K la siilislilulion
la suhsiilutiun urlliogonale KS rem|daeera x par d.r ~ d' y ~ <•'
Si donc la proposiliun n'élait pas loujnurs vraie, elle serait l'ansse pour
tous les '~[p — IJ* sysliniies de solutions de la eongruenee
a- II- — f’ I ,
dans lesquels i — a* el i — />’ seraient non résidus. .Votre discussion a inoniré qu’elle est vraie pour tous les autres, en nomlire //' — ^
Du aurait donc ici
