II.-/, -/,- i(/,,)>=: i •/,= ^4/,

d’où

ü, = II.U, 1- (p‘-^ — i,tl’ — >)■

.Mais le groupe orlliogpnal étant contenu dans le groupe linéaire, IJ, doit diviser l'ordre — /';(/*’ — de ce dernier groupe. Ilonc

étant premier à /,, divisera — i ; '/j* — i : il divisera donc ü8/, — la, reste de la division algébrique de f/,*’ — ij ' p- — i^ par /I* -t- !^p — .1. .Mais, si y, G8, p- jy, — i est plus grand que tiHy, — i a et ne peul le diviser: on verilie aisément qu'il ne le divise pas davantage si y, (JtJ. Donc l'Iiypolbèse faite est absurde, et la proposition est viviie dans tous les cas.

1)1* suitsrnTTioNs,

liiT

21 1 Thoisièmk cas : n > 3. — On verra, rommc aux n*" 20H el 20S. iju'il existe uncsuhslilulioii orthogonale <|ui remplace x par cs+</«

a. h, c, (l,... salisraisant à la relation (19)] : 1" .si l'une des quantités i —

\ — e.st un ré.sidu quailrati*|ue; a" si deux des coenieienis a, b,... sont congrus à ± 1 .

Supposons qu'aucune de ces circonstances ne se présente. Parmi li's

sommes de trois carrés a’ + ô’-ec’, a^ + b^ + d', ft* -e- c* -(- </’ il en

existe une au moins non congrue, .à üéro. Car s'il en était autrement, et <pie n (ut de la rorme 3X- -i- 1, a, b, c,... seraient tou.s congrus h ± 1 . En efl’ei, la .somme des 3X' + i carrés a’, 6^, serait congrue à 1, et la somme

«le Sk quelconques d'entre eux le sei'ait à zéro : le carré restant serait donc congru à 1. Si, au cotiffenirc, n était «le la forme 3X + 1, la somme de deux quelconques de ces carrés serait congrue à 1 : la somme «le six carrés <|uelconques serait donc congrue à 3. Jlais d'autre part elle le serait à zéro. I)n devrait donc supposer /)= 3 ; mais alors on aura a’ — t’îs c’ = ...= i si «. b, c,... ne sont pas nuis, et 1 — égal à un résidu quadratique, si On retombe donc nécessairement sur une des «leux hypothèses pour lesquelles le théorème est démontré.