LIVRE DEUXIÈME
et nous allons voir qu’oii peut les choisir de telle sorte que l’on ail a'— <>. iroîi I— aii(|uel ras la fonction a'x -i- 6' v -H c'a H- c/h 4-... devient l'une de celles pour lesquelles la proposition est déniootrée.
En effet, 6’ étant (mod./j), a, b, c ne sont pas tous congrus à zéro. Suit ajofinod./j) : la relation a'so donnera
bp + cy
valeur qui, substituée dans (ai), donnera
(Zi) ( A’ -e fl’) 4- aie py 4- (c’ -i- O’ j
l>la posé, si fc’ 4- a’ et c* 4- a’ sont à la fois congrus à zéro, b et c ne le seront pas; et la relation (aa) se réduisant à
1 bc Py ^ a' ,
on pourra y satisfaire par des valeurs convenables de /S et de y. Soit au contraire 6^4- a’^o(niod./>): posons
ï3) ( A’ 4- n’ ) ^ 4- bey = p'.
La relation (aa) devient
P"' [( c* 4- <l‘) ( A= — fl>) — A*C'] )r’ = «'4 A-
et comme le coefficient
(c’ 4- n’)(A' 4- o‘) — A’c’ = a’(<i’ -H A’ c’)= mii‘
n'est pas congru à zéro, ou pourra déterminer p — ^ ~ ) systèmes de va
leurs de y et de p' qui satisfassent à cette relation. Les valeurs correspon dantes de j3 s’obtiendront par la congruence (a3).
213. Théorème. — L'ordre U, du groupe orthogonal de degré a" est égal à Mj, M, éiant égal à a'~' ou à a'’ "’ — i, suivant que r est pair ou
impair.
En effet, on a, comme dans le cas où p est impair, Ü„ = R, étant
DES Sl'BSTIU'TIONS. D»
le nombre de fonctions différentes ax -f- />v -i- ci + . . . par lesquelles les substitutions orthogonales permettent de remplacer x. Mais a,h, c,... satisfont à la congruence
n’ 6' -f- c* = I ( niod. a ),
laquelle se réduit à
( 24 ) « . <1 *• c -f- . . . irâ I (mod. a).
il cause des identités a’ a, et a a"'* systèmes de solutions, les
n — I (|uantités b, c,... restant arbitraires, pourvu que a soit déterminé par la congruence (a/|).
Soit a, b, c,.,. un quelconque de ces systèmes de solutions : si a, b, c,... ne sont pas à la fuis congrus è 1, il existe une substitution orthogonale qui remplace .r par -t- b^ -h cz -h . . . . Car supposons par exemple a = 5, a -= i — c== I , rf— e — O : les deux substitutions
I Z, U, V ti.j-, a. X, V |,
sont orthogonales, et leur produit remplace x par x-f-v-+- 3.
Au contraire, si a, b, c,... sont tous congrus à 1 . il n’existe aucune substitution orthogonale (|ui remplace x par ax-h by -1 cz -t-.... Car les autres coelficients a', b', c',... de cette substitution devraient satisfaire aux relations incompatibles
a’’ -*■ b'’ -h c"’ -I- . . . = n' -I- 6' -h c' ■*■ . . . = I . aa' + bb' ^ cc' -t- ... = n.
On aura donc 2’“'— I ou = 3"“', suivant que a ;c = ...= i est ou non un système de solutions de la congruence (a4|> c’est-à-dire suivant que n sera impair ou pair. Donc on aura dans tous les cas R„ = M,, d’où
214. L’ordre du groupe orthogonal de degré 3" s’obtient encore en remarquant que La" fonction x’ -t- j’ -1- a’ -1-... que ses substitutions laissent invariable se réduit à x -i- v -t- z -h... (mod. 2). Soit, pour abréger, X cette dcrnÜTe fonction; prenons pour indices indépendants X, y, z Les sub-
stitutions orthogonales, laissant X invariable, prendront la forme suivante
170 UVRF. DEL'XIRME.
OÙ les (’oelTicients a', a',... pciivcnl être queiconriues. et où b', c',...; b", c",. doivent être choisis de telle sorte, que leur déterminant ne soit pas congru à zéro. Le nombre des substitutions orlliogonales sera donc
résultat qui s’accorde avec le précédent.
215. Le groupe orthogonal est évidemment contenu dans le groinie plus général formé par les snbstitntiuns qui miiltiidient x’-r y’-t- a’-t-... par un facteur constant (ahstraction faite des multiple.-, de />;.
Soit r une racine primitive de la congruence r'’"' .■ i . cl soient «. ^ deux entiers <|ui satisfassent à la congruence Le groupe cherché F
contient, si n est |>air, la substitution
T z= I X. r. a, . ax 4- (3/. |îx — «r, ai J- |3h, xi,. . ■ |
qui multiplie x’ 4- y’ s*-4-... par r. Soit maintenant S une substitution de F, laquelle multiplie cette fonctitin par «» * On aura évidemment S = T^U, L" étant une substitution orthogonale. L’exposant p pouvant prendre les valeurs n, i,..., p — i, l’ordre de F sera égal it p — i fois celui du groupe orthogonal.
2IG. Au contraire, si n est impair, il ne parait exister aucune substitution qui multiplie x’4-) ’-t-s’4-... par r. Nous allons le démontrer en toute rigueur pour « 3.
Soit
S 1 X, Z ox- by+ cz, afx -t- b'y-i- c'z, n"x +■ b") c“ z \
une substitution (|ui multiplie x’ -: v’ 4- s’ par in\ et soient x, |3, y trois entiers quelconques satisfaisitnt à la relation a’ — j'î’ 4- 7’-=^ 1. Il existe une substitution orthogonale 2 qui remplace x par ax4-j\v4-yî (20;L210). Sa réciproque S sera (lOG) de la forme
I X, v. a XX -f- . . . , Px 4- . . . , yx I- . . . I .
Si l’on détermine a. y île telle sorte ijuc l’on ail aa 4- 5j5 4- cy=o (212), la suhslitution i“'S sera de la forme
i"' S = 1 X, Z hy CI, a'x -h b' y 4- c'a, n"x -* b"y -t- c° z |.
Mais elle multiplie a-"-»- r*-)- s’ par m, il’où les relations;
a’’ -t- a"’^b‘ I 6'* S- 6"’’z3c’ ■+■ c’’ -4- c"’ ^ ni, a' b' a" b' ~a' c' -l- a"c'^ bc -i- b' c' -r b’tf = o.
D’ailleurs, i"' S n’ayanl pas son déterininant rungru à zéro, a', à ne peuvent être à la fois congrus à zéro. Suit, par exemple, a'^o (luoil./?); posons b"s~ztt', e“^z'a' : il viendra sucressivement, en vertu des relations précédentes.
A’” — r»'. c' — — t'o", o «s 6c rr' (<i'* -1- n"’) ^ éc t nir:', ni — b’ z’ {a’’ a"') 6’ -i- niz'^c' 1" (a'' ■+• n'’)r= c" f niz’'.
On en déduit
b’c' ü ni'z'z’' «w m’( 1 — T’) (' — t’’)î
d’où
I — t’ -t'’220, 6’=3«|(I — r')2S'«*'‘ C’ïS! m(l — t'’) :î3 HIT*.
Mais le déterminant de 2*' S n’étant pas congru à zéro, l’un au moins des entiers 6, c ne sera pas congiu à zéro. Soit, par exemple, 6>o(mod.^):
sera un résidu quadrali<|uc de p, autrement dit, une puissance paire de r.
Cela posé. 1' contient la substitution T' qui multiplie clia(|uc indice par r: car elle multipliera -t- i’ par /■’; et il est clair que toute substitution de r qui multiplie cette (onction par sera de la l'orme T'^U.
U étant orlbogonale.
