XI

n* UVRE DEUXIÈME.

la fonction ç, multiplieront cette fonction par un simple factetw constant {abstraction faite des multiples de p).

‘Il est clair que si deux sulislitulions S, S' multiplient respectivement ç par des entiers constants m, m', SS' mullipliera ç par l’entier constant mm'. Donc les sulistitutinns cherchées forment un {groupe. Nous l’appellerons le groupe abèlien, et se.s substitutions seront dites abcliennes.

Soit

X, a', X. -I- c', J-, rt', X, -I- c‘, V.

.Ki b\ X, -h d\ b'^ X, + d'^ y,

y, d'fy,-t- bfx. + d'fy,

une substitution ahélienne. Exprimant qu'elle multiplie par m, on aura le groupe de relations suivant ;

I ^ df'df* — b'f'df' s ni , V a'^df — b ’' cjj’ ^ o, si ^ f» t niod . p ), I V a^'t Aj;' — = O, ^ c‘fdf — d<'fc'^J=a.

21 K. Cherchons à déterminer la substitution réciproque

I X, a X, 4- y fy, 4- ... 4- af x, 4-

I ,)•. p:> X, 4- a.'i.r, 4- . . . 4- X, 4- ô'fy.

On obtient, par bypothèse, le même résultat en multipliant 9 par m, ou en y e.xécutant la substitution S dans les deux systèmes de variables. On ne troublera pas l'égalité de ces deux résultats en y opérant la substitution S~' sur les variables x,, y”,,..., x„, Donc il est îndilférent de multiplier 9 par m, et d’y opérer ensuite la substitution S“' sur les variables x, y, ou d'y opérer la substitution S sur le.s variables S, ij. Identifiant ees deux résultats, il vient

O'V 4- yj:>y„} n, - (^;;'x, +■ a;>y,) 5,

= ^ XiilA;' £.4- d/>r„) — yv(<ï/'?. 4-

il’oii l’on déduit

Or S“', étant opérée sur les deux suites d’indices, multiplie évidemment 9 par ~ Formons les relations (|ui expriment cette identité, puis substituons-y les valeurs trouvées pour les (juantités a, |3, y, : il viendra

I y «r/’ rf-i'i — SS m, ^ a;»t </>') — c;!*''

Ce nouveau système de relations est entièrement équivalent au svstème (a5). Car nous venons de voir qu’il s’en déduit; et réciproquement,

si les relations ( 27) sont satisfaites, S~‘ multipliera f par ■— : donc S le multipliera par m, et les relations (aSj seront satisliiites.