I .fl a\x,-h c,y,-ha\x, + c',}-,-*-..., b',x,-h b',x

ce que devient T rapportée à ces indices. Les relations résumées dans la

IWî UVRK DFXXltME.

formule (3 1) seront précisément les relations (27). I.e groupe formé par les substitutions T se confond donc avec le groupe abélien.

Faisceaux abêtie ns.

2f0. Soit r un faisceau de substitutions échangeables entre elles et d’ordre premier à p, qui soit contenu dans le groupe abélien. Supposons. en outre, que le groupe G formé par les substitutions abéliennes permutables à F soit primaire. Le groupe formé par toutes les substitutions linéaires permutables à F sera à fortiori primaire. On pourra donc choisir les indices indépendants de manière à ramener à la fois toutes les substitutions de F k leur forme canonique: cela fait, les nouveaux indices .se répartiront entre X systèmes, contenant chacun un même nombre p. de séries, dont cbacune contient un même nombre v d’indices (178 et 193).

211. Cela posé, soient .\, Y deux quelconques des nouveaux indices, (\ et C, les substitutions qui leur correspondent, (C, C,) leur exposant il’écliange. Soient

S = I X, Y.... aX. ?V,... I

une des substitutions de F, m le facteur par lequel elle multiplie les exposants d'échange des substitutions C,, C,,...; elle transforme C,i et C> en CJ et C(, dont l’exposant d’échange est a/5 (C,C,). On aura donc nécessairement

*3(Ci r*) d'où ou (C»Ci) = o.

Or, quel que suit l’indice X, la substitution Cj ne peut avoir ses exposants d’éebangc avec toutes les substitutions C,, C,.... congrus k zéro; car il en serait de même de ses exposants d’échange avec toutes les substitutions de J, qui dérivent de cclles-lk, et cela est contraire k notre hypothèse.

Soient donc S., K',... les indices d’une série quelconque; a, a',... les facteurs par lesquels tous ces indices sont multipliés par les substitutions S, S',... du faisceau F, lesquelles multiplient respectivement les exposants d'échange par m, m' Il existera une série d’indices Y, Y',... que ces mêmes

substitutions multiplieront par les facteurs (5==^, (mod./)).

Nous dirons que ces deux séries sont conjointes, et nous pourrons, d’après ce qui précède, énoncer le théorème suivant :

Théobfmf.. — Toute série a sa conjointe, et l'exposant d'échange de deux

DES SLBSTnrTHiNS

substitutions de la suite C,, C,,... sera congru à zéro, à moins que les indices correspondants n'appartiennent à deu.r sénés conjointes.

242. THKORf.MK. — Soient X. X',... et Y, Y',... deujc séries conjointes

quelconques ; X'.,... et Y,.’ Y',,... les sénés conjuguées, obtenues en rempla-

çant l’imaginaire i qui entre dans l'expression des indices de ces séries par Sa conjuguée i'' : ces deux noinelles séries seront conjointes, et l’on aura la relation

i“ En effet, si S multiplie X par a et Y par elle multipliera X, par a.’’' et Y, par , et de la relation supposée a^s^m on déduira «d {m étant un entier réel).

a® Soit d’ailleurs C,s on aura Qi, = x',' .... En effet, formons les relations (|ui expriment que accroît d’une unité l’indice X

sans altérer les autres. Remplaçons dans ces relations l’imaginaire l'par sa conjuguée i'’’ : les nouvelles relations ainsi obtenues expriment évidemment que .V.;' **' ... accroît d’une unité l’indice X, sans altérer les autres.

Soit Q = J.) et,;...; on aura de même C,,= .t-î' on en déduit

nr’ .^(/v — nX+ . .)''=£ (Ci C,]é.

CoRoLLAinE. — S< les séries X, X',...; \, Y',... appartiennent à des systèmes dijférents î. et 1,, chaque série de 1 aura pour conjointe une série de 1,. Nous dirons alors que ces deux systèmes sont conjoints.

,\u contraire, si ces deux séries appartiennent à un même système 2, toutes les séries de ce système sont conjointes deux à deux.

243. THÉonéME. — Soient .X, X',... et Y', Y’’,... deux séries conjointes; S une substitution de G, qui remplace ces indices par des fonctions linéaires

des indices de. deux nouvelles séries, ’L, Z',... et U, L" Ces nouvelles séries

seront conjointes.

Supposons, en elTcl, qu’elles ne le soient pas : F contiendra une substitution T qui multiplie les indices de ces deux séries par des facteurs •/ et d qui ne satisfas.sent pas à la relation qiszm, m étant le facteur par lequel T multiplie les expo.sants d’échange. La substitution S~*TS, qui fait partie de F, et multiplie les exposants d’écbange par m, multipliera les indices des deux séries X, X',... et Y, Y'',... respectivement par y et â. Ces deux séries ne sont donc pas conjointes, comme on le suppose.

IM . UVnE DElXIftME.

CoRoi.LAiRE I. — Si une substitution S ne déplace pas la série X, X',..., elle ne déplacera pas sa conjointe, (lar Z, Z',... se confondant ici avec X. X',..., sa conjointe U, l!',... sc confondra avec Y, Y'

OiHOLLURE II. — Si dcu.r séries conjointes appartiennent à un même système 2, deux séries conjointes quelconques appartiennent à un même système. Car G étant priniiiire, scs sulistitutions pcnmitont transitivement les systèmes (142). Donc il contient an moins «ne substitution S qui remplace les .séries de 2 (lar celles d’un autre système quelconque, 2,. .Mais les séries de 2 sont conjointes deux à deux (242); donc celles de 2,, que S leur fait succéder, le sont également.

CoRoii.AiRE III. — Si deux séries conjointes appartiennent à deux systèmes différents {auquel cas ces systèmes sont conjoints], chaque système aura son conjoint, et chaque substitution de G fera succéder aux indices de deux systèmes conjoints des fonctions des indices de deux nomeaux systèmes également conjoints. Or si tes deux séries conjointes X, X',...; Y, Y',.;, appartiennent à des systèmes différents 2, 2,, soit 2' un autre système quelconque. Il existe dans G une substitution au moins. S, qui remplace X, X',... par des fonctions des indices Z, Z',... de Tune des séries de 2'. I.a même .substitution remplacera Y, par des fonctions des indices ü, U',... d’une série

d’un système 2',, évidemment autre que 2'; les deux séries Z, Z' et L',

U',... seront conjointes : donc 2' et 2', seront conjoints.

Corollaire IV. — Si imc série se confond avec sa conjointe, il en sera de même de toutes les séries. Car les deux corollaires précédents montrent que si une série quelconque avait une conjointe autre qu'elle-méme, soit dans le même système, suit dans un autre, les séries pourraient toutes se partager en couples de séries conjointes l’une à l'autre. Donc aucune série UC serait sa propre conjointe.

244. Concltuion. — Les faisceaux tels que F se répartissent en trois catégories, correspondant aux trois cas suivants :

l'remier cas. — Chaque série fait partie d'un autre système que sa conjointe.

Deuxièrne cas. — Chaque série diflère de sa conjointe, mais fait partie dn même système.

Troisième cas. — Chaque .série est .sa propre conjointe.

DES SCBSTITLTtONS. IKI

245. Soient maintenant x, y,... les divers indices d’tine même série, t'.hacuiie des substitutions de F. les multipliant par un même l'acteur, multipliera évidcinincnt par le même facteur toute fonction de ces indices. On pourra donc, sans altérer la forme de ecs substitutions, prendre pour indices

indépendants, 5 la place de x, y des fonctions i|ueicoltques de ces

indices.

On pourra faire de même dans chacune des autres séries. .Nous conviendrons toutefois, lorsque plusieurs séries seront conjuguées, d’y prendre pour indices indépendants des fonctions conjuguées. Tout en obsei-vant cette règle, il existera dans le choix des indices indépendants une latitude dont on pourra profiler pour simplifier l’expression des exposants d’échange mutuels des substitutions correspondantes.

246. Pbemier cas: Faisceatuc de première categorie. — Supposons que K appartienne à la première catégorie. Soient x, y,... les indices de la première série d’un système quelconque; £, ceux de la première série du système conjoint; Cj,, (V,..., Q, C,,... les substitutions respectivement correspondantes à ces indices.