I.e déterminant
(C.Ci) ,C.C,)
r;Ct) i.gc,)
ne peut être congru à o. Car s’il l’était, on pourrait déterminer une snbsiilulion C?CJ... dont les exposants d’échange
a C,Q) A(C,C,) -I-. . ., rt(C,Cj) -t- é (C,C,) -t- . . . , i . .
avec ,C^, C,,... fussent tous congrus à zéro. Mais les exposanUs d’échange lie C{, C,,,... et, par suite, ceux de CfCJ... avec les substitutions correspondantes à tous les indices autres que x, y,... sont congrus à zéro. Donc CfC*... aurait ses exposants d’échange avec toutes les substitutions de v congrus à zéro; ce que nous supposons impossible.
Cela posé, on pourra déterminer des substitutions
n = c?c;.... D. = r., -cl'. ......
telles, que leurs exposants d'échange avec Cj. C^,... .sment tous congrus à zéro, sauf ceux-ci (C,D), (C. D,),..., qui seront congrus à i. En elTel, pour déterminer D, par exemple, il sullira de choisir a, ^,... de manière à salis-
UVHF DEI XIBIE
taiif aux congniuiices linéaires
îa 4 ^ +•..»> I. -t- |5(C,C, 4-... £;-o,...
iloril le ilétcnninant n'est pus eoiigru à zéro.
I.c <ié(crniinanl des quantités a, a ; /5, (i n’cst pas congru à
zéro. Car, d'après les relations (3a), son produit par le déterminant A est congru à i. Donc on peut remplacer Ç, par de nouveaux indices
qui coirespondent respectivement aux substitutions D, D,,... (231).
On peut opérer de meme sur les premières séries de chacun des couples de systèmes conjoints. Si l'on prend en même temps, comme nous en sommes convenus, pour indices indépendants, dans les autres séries de chaque système, les indices respectivement conjugués de ceux de la première série, les exposants il'échange mutuels des substitutions correspondantes seront immédiatement donnés par le théorème du n" 232.
247. Si-xoxn cas : Faisceaux de seconde catégorie. — Dans tout faisceau de seconde catégorie, le nombre des séries de chaque système est un nombre pair, av. lin effet, si la première série d'un système est conjointe à la V , i'*"', la seconde le sera à la y -+- a''®', etc. I.a y-(-i''®' l'est à la av 4- i""'; donc la ay + i"®' se confond avec la première: donc le nombre des séries distinctes est ay.
Soient x, x',... *> les indices de la première .série du .système i que
l’on considère: x^, a) a;'"*’ leurs conjugués <le la série conjointe: C,
11',..., C’''"'’; C,, C, (V'” les substitutions correspondantes à ces divers
indices. Nous allons montrer (|u’on peut choisir les indices indépendants
de telle sorte, que chacune des substitutions C, C' " ait ses expes-
sants d'échange aeec C,, C, ,..., tous congrus à zéro, à l'e,rception d'un seul.
248. Admettons en effet que l'on puisse choisir les fz' derniers indices de
la suite x, x' a:^", de telle sorte que les exposants d'échange de
chacune des substitutions C,, (X Cl’"" soient tous congrus à zéro, sauf ceux-ci : (C>^*'>Ci">‘’), (C»-'>Q""),
mais qu'on ne puisse choisir plus de p.' indices jouissant d'une propriété analogue. Si l'on avait p'=p, notre proposition serait prouvée. Supposons donc p' nul ou positif, mais moindre que p.
I.es relations ainsi établies entre les exposants d'échange subsisteront si l'on remplace les indices x,..., par des fonctions linéaires de
DKS SUBSTITUTIONS.
«es mêmes indices, sans altérer Car suieni, par exemple,
y==euc 4- . . . + et x, -H ... -I- ki"' x^'~'^ un de rcs nou-
veaux indices et son v'^"' conjugué : la substitution D,. corrcspondiinle à étant dérivée îles substitutions C,,-.., Ci'"'"'", dont les expo.sants d’echange avec C'*"'*'',..., sont congrus à zéro, ses exposants d’échange avec ces^ dernières substitutions sont eux-mêmes congrus à zéro.
Il existe donc dans le choix des indices x a:''*"'*'”” une indétermi-
nation dont on pourra lâcher de profiter pour simplifier l’expression des exposants d’échange restants.
249. Soit D = C'C'^'C"*"... une substitution dérivée deC, C' os-s'- C ;
on aura identiquement, lorsque
(DC;'') = -(C;”D)=- (Cl‘'lt„)^- tO0I).)r-ï=.,.
On peut eu outre déterminer a, a', a",... de telle sorte qu'on ait
{DC'.) = o (l)C.'’”'‘'^’') = o.
En effet les relations
(ltC)*!a (ClX) -e a'(0'C.) -+-• «'(C'CJ + .. . -.lo.
( ImX) = » (tic) «'(C'C) + «'(C'C.J + . ■ . so,
déterminent les rapports de a, a', a" ce qui nu souffre aucune dilli-
culté, ces rapports pouvant être sans inconvénient infinis ou indéterminés.
Le coeiricient a est congru à zéro. Car s'il ne l'était pas, on pourrait prendre pour indices indépendants, à la place de x, x',..., x'*"'*'-'* ceiix v, y',..., auxquels correspondent respectivement les substitutions Ü,
C', C,..., et ce choix d'indices permettrait, contrairement à l’hv-
pothèse, d’avoir à la fois
(l>i;.)œo, (DtZ.) O, . . (DC‘~’')j*o.
De la relation on conclut (DÜ,) = o. Car 1) étant de la forme
C'*’C"*”..., on aura
l). = C‘ ■' V.;*"''..., rloù + «"c‘(lx:;) -e
D’ailleurs l’un au moins des coefficients a', a",... sera ^o(mod./»). Soit
I1« LIVRE DEl XIÈME.
«'^o {mod./»). Nous prendrons pour indices indépendants à la place de a-,
•r' xfe-e'-o ceux v, y' y't^'*'“'iqui correspondent respectivement aux
sulistitutions C, D
Déterminons maintenani une substitution E = telle, que l’on
ail (Etl,)— <>, (E(t)=^ O O. Nous venons de voir que cela
est toujours possible; et de plus que le coefiicienl (5' sera congru à zéro, d'où l'on conclut la relation (EE,)— , o.
Le cocfticicnt /3 ne peut être congru à zéro: car, s'il l'était, E se réduirait à la forme et l'on aurait, par suite, (ED,) — o. On a en outre, si
t > II — IJ.' — i.
- (cl*’ E) =3 - (C*' £,.)»-( O') E, ''si o.
Knlin on a évidemment, si r diflerc de v,
