EC,] { ED,) ^ (EC’) = . . . O

I.a substitution E aurait donc tous ses exposants d'écbaoge congrus à zéro, ce (|ui est supposé impossible.

Cela posé, |>renons pour indices indépendants, au lieu de j, j",... ceux Z, î', i",... qui correspondent respectivement aux substitutions E, I), C"....: ou aura déjà les relations

(DI).) = o, (EE,) = o, {EC;)ts(DC.)^...so;

d’oii l'on déduit réciproquement

C E.l= - (EC;)'’es O, ,C”D.) = - (D€;)''= O

2Ô0. On peut opérer sur les fi ~ti — i indices z",... comme nous l'avons fait sur les indices a-, .r', x",... et les remplacer par de nouveaux indices u", tels, que les substhulions correspondantes E', D', C'*',... et

celles qui correspondent aux indices conjugués satisfassent aux relations

(D'D.)a*o, (E'EDs-o.

' E' C*’) = (D' Ci") » . . . -E O, (ce- Ei) = (CO Di) = . . . = O.

En poursuivant ces opérations jusqu'à ce qu'on ail épuisé le nombre fi — fi', on conclut enfin : i° que fi — fi' est un nonrirre pair au"; a" que les

DES SCBSTITUnONS. . I!«

indices de la première série de 2 peuvent être choisis de telle sorte que les substitutions correspondantes

E, D,..., El'*"-'», DO'"-", O'-s'* O'-o,

et les substitutions

E.. D e;“‘"", Cl’"'’ c:r''

qui correspondent à leurs v''"" conjugués, aient tous leurs exposants d’échange congrus à zéro, sauf ceux-ci : ■ '

(l)i»E.‘’), (EODl”), (O*) Cl*’), ce qui démontre notre proposition.

251. Il reste encore dans le choix des indices un peu d’indétermination, dont on peut profiter pour faire en sorte que l’on ait

(D")E1”)s-(E!*>d;'>) = i, (C">ci”) = e, e étant une racine arbitrairement choisie de la congruence

. er’-' = — I .

Kn effet, doit être une racine de cette congruence; car on a

( c(‘) cl'y s ( Ci” ci;’) = ( ci” cc) ) E - ( c<*> ci” ).

D'autre part, prenons pour indices indépendants, au lieu des indices actuels u'”, ui’’, correspondants à C'”, Ci”, ceux-ci : b~' u!'\ ér^'iti”, auxquels

correspondent respectivement les substitutions K = [C'”]* et K, = fCl”]** . Un aura

(KK,)»(CWCi‘’)irV'.

Ur on peut déterminer b de sorte que cette expression se réduise à e : car la congruence

^ • (CWCi”)6r-+'sie

élevée à la puissance I devient . •

tilt LIVRE DEUXIEME.

ve qui montre que ses racines sont des fonctions réelles de l'imaginaire i de degré av qu'on a déjà Introduite pour réduire F à sa forme canonique.

D'autre part, remplaçons l'indice v r.orrc.spondanl à D**' par un nouvèl itidiee La suljstitutiou correspondante sera fD*'/; son exposant

d'é< liange avec R, sera et se réduira à l’unité si l’on prend

On peut donc admettre que (C" C.”) soit égal à t et (D'*'E,' ) à i. On aura alor.s

(Ei'.' ri.") =c (Ei!' D'.”) { D;*’ E/’) ^ - { I) ■) - I.

Les exposants d’échange des substitutions correspondantes aux indices de la première série de i étant ainsi déterminés, on aura, en les élevant à la puissance //, ceux des substitutions correspondantes aux indices de la , ^ série (2i2).

252. Considérons maintenant un autre système (luelconque 1. Le groupe G, 'formé par les substitutions abélicnnes permutables à F, étant jirimaire, contient au moins une substitution qui remplace les indices de S. par des fonctions linéaires des indices de 1'. Soit S une substitution de G. choisie h volonté parmi celles qui jouissent de cette propriété.

Prenons pour indices indépendants dans 2' les fonctions par lesquelles S remplace les indices de 2. Les transformées par S des substitutions qui correspondent aux indices de 2' seront les substitutions ipii correspondent aux indices de 2; elles ont ilonc mêmes exposants d’échange mutuels que ces dernières.