Soit
T — I a,, Sjf ... 2, -f-..., TiSi-l-rja,-!- |.
Il est aisé de déterminer les relations auxquelles satisfont ses cocflicients. F.n effet, les substitutions
V, = .Vv..Aî...., .V.rr .Aî-A?
transformées de A,, Aj,... par T devant avoir mêmes exposants d’écbange mutuels que A,, Aj on aura, pour toutes les valeurs de a et de v,
^33) (A, A,)î,g, -J- (A, A,' Ç|.r. -t- .. .-K (A, A,) r,. . .si(A, A.).
Elles ont en outre les mêmes caractères, d’où pour ebaque valeur de p la relation
(34) (A, A,) -h (\,A,)q,r^-h. . . + s,ri,-t- . .
Les conditions çi-dessus sont d’ailleurs sufftsanles. Car, si elles sont rem-
DES SÜBSTmmONS.
plies, soient une substitution quelconque de A1“’A,"''... sa
transformée' : ces deux substitutions, étant respectivement le produit de facteurs qui ont mêmes caractères et mêmes exposants d'écbange, auront mêmes caractères.
• 2.58. Cbercbons à simplifier l’expression des conditions ci-dessus par un
® changement d'indices convenable.
Nous avons vu (232-23i) que le groupe ^ peut être considéré comme dérivé de n couples de substitutions
{ 35 ) ‘-V „ lü,, ; .t„ tf..,; . . . ; v!.,
telles, que tou.s leurs expo.sants d’échange mutuels soient congrus à zéro, sauf ceux-ci: ^
qui -seront congrus à i. On peut d’ailleurs supposer que les deux substituions d’un même couple ont le même caractère; car, si -t., et ifi.,, par exemple, avaient respectivement pour caractère o et i, pourrait être considéré comme dérivé des substitutions de la double suite
lesquelles ont mêmes exposants d’échange et mêmes caractères que les siilistituiions correspondantes de la suite (35), sauf et., .t,, qui a pour caractère zéro.
Cela posé, soit p le nombre des couples de la suite dont les substitutions ont le caractère i : si p > i, on pourra l'abaisser de deux unités. En cITet, soient -t), v!>,; deux couples dont les substitutions aient fc caractère i; on pourra considérer .'f comme dérivé de la double suite *
analogue a la double suite (35), sauf que ses deux premiers couples ont le caractère o au lieu du caractère i.
Si donc on suppose p réduit à son minimum par le procédé ci-dessus, un aura p = o ou p=i. Ces deux cas sont d’ailleurs essentiellement différents, comme le montre le théorème suivant, qui donne au nombre p sa véritable signification, dégagée de tout arbitraire :
UVRE llEUXIËME.
259. TiiéoiiÉME. — Im majorité des substitutions de 3 a pour caractère p. i“ Soit (l’abord jj=o. Les substitutions .v,,, tiîi,,... ayant toutes pour capactere zéro, une quelconque des substitutions de J, telle que aura pour caractère a,b, a^b.^+ Le nombre des sabstitutions de d ayant pour caractère zéro sera donc égal au nombre ‘i’« des solutions de la congruence
Or on peut satisfaire à cette congruence en posant
n, 6, O, a, 6î -I- . . . ™o, ou o, 6, = i, a, A, + ...b>i.
Dans le premier cas; on aura pour a,, b, les trois systèmes de solutions O, o: O, i; I, o; et l’on aura manières de choisir a„ b Dans
le second cas, on devra poser = o; et a,, b, pourront être
choisis de manières. Sommant toutes ees solutions, il vient la
relation
<?.== 3<r,-, o if,„
qui permet de calculer successivement 4'j, ® ‘f, étant égal à 3. On vé-
rifie ais(:ment que l’on aura en général
nombre supérieur à la moitié de a’", nombre total des substitutions de !>.
260. 2° Soit au contraire p = i; et supposons, pour fixer les idées, que celui des couples de la suite <t-,, tit>, ; «i.,, es,;... dont les substitutions ont le caractère i soit le premier, .1.,, La substitution aura
pour caractère a, -t- é,-t- a,b,+ a,bi-t-.... Le nombre éi„ des substitutions de d qui ont pour caractère zéro sera égal au nombre des solutions de la congruence
/?, -4- 6, -4- «, 6. fl, 6, -I- . . . ^ o, ou ( a, 1 ( A, I ) -(- o. A, = I .
Mais cette congruence est satisfaite par 2’" — $, systèmes de valeurs de a, -t-i, b, -h I, a„ i,,..., auxquels correspondent autant de systèmes de valeurs de a,, b,, a„ b, On aura donc
âl, == 2» — 'f. = a>— — 2*-',
nombre inférieur à - a"",
DES scBsrnrrioNs. i!w
261. Cela pusé, on peut déterminer un système d’indices indépendants x„, y„ qui correspondent respectivement aux substitutions a,, i*,;...; ifc,,. Soit maintenant
+ ftl x,4 rf'„ y.
-t- d\‘'iy,-i-. ,
une substitution du groupe cberclié. Les conditions auxquelles scs coellieicnts doivent satisfaire s'obtiennent en substituant dans les relations (Ü3) et (3/j) les valeurs particulières qu’ont les exposants d’échange et les caractères des substitutions correspondantes aux nouveaux indices. Elles seront donc différentes suivant que l’on aura p = o ou p = i. On obtiendra ainsi deux groupes différents, iJ, cl 5n <1^*® nous appellerons groupes kypoahrliens .
■» Premier groufie hyi>oabèlien.
262. Supposons p=o. Les relations (33^ se réduiront à la forme fa7J (en remarquant d’ailleurs que, dans le cas actuel, p étant égal à a, on aura toujours mis i); cl les relations (34) deviemlront
(36i ^ -h. , . rt'.'iéj'' = 0, f^.rf',-1- cj."* O,
formules où pt prendra successivement toutes les valeurs i, a n.
Mais si S appartient à 5o< lui appartiendra, et réciproquement. On aura donc un nouveau système de relations é(|uivalcnt au précédent, en exprimant que S~' est bypoabélienne. Pour cela, on remplacera dans les relations (37) et (36) les divers coellicients a, par les coeilicients correspondants de la substitution S~', que donnent les formules (361. On obtiendra ainsi les relations (aS) et les suivantes :
\’S~i />'/> f{/> -t- />if> ^ O, -t-
263. Théorkmk. — Le groufie S» est dérivé des seules substitutions .M,,. N,i ., (déjinies comme au n" 220); et son ordre est égal à
En elTet, les substitutions des deux formes ei-dessus, satisfaisant aux re-
îon LIVRE DEUXIÈME.
lalioiis (a5) et (37), appartiendront à Réciproquement, toute substitution hypoabélienne, 1, dérive de celles-là.
Kn effet, supposons que i remplace x, par la fonction
/ «5 a', JT, -I- c, y, -t- . . . -t- ;
les coellicienls a’,,..., c, ne seront pas tous congrus à zéro, et l’on aura, d’après les relations {37),
26i. (iela posé, on pourra déterminer une substitution S, dérivée des substitutions M|i et qui remplace x, par .
En effet, soit d’abord a, ssi : la substitution
remplace x, par/,. .
Sia,=:o, mais c, SI, il existe, d’après ce qui précède, une substitution S, dérivée des substitutions M,i et N,,,,, qui remplace ar, par
é,Xx-¥ <f, *■,-(- c', y,
et la substitution
remplace X, par/,. •
Soit enfin a', =c, =0, mais a', ouc,= i. D’après ce qui précède, il existe une substitution s, dérivée des substitutions M,, et qui remplace par /, ; et la substitution
remplacera X, par/, .
265. Ce point établi, posons 2 = S2' : 2 et S étant hypoabëliennes, 2' le sera également; mais de plus, elle laissera x, invariable. Soit
fl ^ b\ X, -t- d\xt 6^x. -I-
la fonction par laquelle elle remplace y", : les relations (aS) et (37) donneront
(3»)) d', SI, b\s-b\d',-v-...-i-b‘^d\^a.
DES SLKTITDTIONS.
au
Cela posé, la substitution
remplace j-, par .sans altérera:,; et l’on pourra poser 2' = S' 2,, d'où 2 = SS' 2,, 2, étant une nouvelle substitution liypoabéliennc, qui laisse J?,. V, invariables.
260. Les relations (ay) et (36) montrent que 2, se réduit à la forme
rt'
fr'.
X, -t- cï'’y, -t- .
. -4- flj,"' X, -4- c],"’y«
iÿi
X, + rf<,”'y, -t- .
. -4- 6<,"> X, -4- rfi"’y.
où les eoelTicients sont liés par les mêmes relations que dans les substitutions hypoabéliennes entre n — i couples d’indices.
On voit comme tout à l’heure qu’on aura 2, =S,S’,2„ S, et S", étant dérivées de celles des substitutions M^, N,,,, dans le.squelles /x el v .sont > i, et 2j une nouvelle substitution bypoabélicnne qui laisse x,, y',, x„ jj invariables, etc. Donc enfin on aura
2 = SS' 2, = . . . = SS'. . . S.,s;.. .2.-,.
2„., étant une substitution hypoabélienne qui n’altère plus que les deux inilices x„. y». Mais une semblable substitution ne peut être que rnnité, ou M„. Dans l'un et l’autre cas, 2 sera dérivq des substitutions M,,,
267. L'ordre u„ du groupe 5o résulte immédiatement de ce qui précède. Un effet, le nombre des fonctions différentes, telles que que ses substitutions permettent de faire succéder à x, est égal au nombre ï„— i des systèmes de solutions de la congruence (3S), la solution a',s...æc^s::o étant exclue. On aura i) u', , w', étant l’ordre ilu groupe partiel f)’„
formé par celles des substitutions de S„ qui laissent x, invariable ( 123).
Le nombre des fonctions différentes que les substitutions de 5* l’ont succéder à y, est égal au nombre des solutions des congruences (Sq), lequel est égal à car ces congruences déterminent et é', , les an — a coef-
iOi UVBF. DEI XIËME.
ticicnts //j,..., d, restant arbitraires. On aura ta', = a’"*’ ta,., étant l’ordre du groupe partiel formé par celles des substitutions de 5, gui n’altèrent pas X,, j-|.
Poursuivant ainsi, on obtient la formule énoncée au tbéorème.
