PnoBr.ÈME. — Trouver les facteurs de composition de H

Suit I un groupe contenu dans 5,, et permutable à ses substitutions; nous allons recbereber ses propriétés.

Pnoposmow I : I contient une substitution differente de l'unitr, et t/iii n altère pas x,. — Soient en effet S une substitution (|uelconi)uc de I; y, a’, X, -H c, J, -t- «J Xj -t- .. . la fonction qu’elle fait succéder à X,. Si f ne se réduit pas à x,, l’une au moins des quantités c, . n',, c,,... sera 50 (mtid. 2).

1“ Si c'i^o (mod. 2), 5, contient une substitution T qui laisse x, invariable, et remplace V, par f^ (263) : I contiendra S,, transformée de S par T, laquelle remplace x, par v,.

Ola posé, si S, laisse x, invariable, 1 contiendra sa transformée par P, ,, laquelle laissera x, invariable. Si au contraire S, altère x„ un voit aisément que parmi les substitutions des formes N,,,,, Q,,.,, R,,,, qui laissent x,, invariables, il en existe une au moins, T,, non échangeable à S,. Le groupe I contiendra la substitution S,'’.T, ’S, T,, laquelle laisse x, invariable et diffère de l’unité.

2“ Soit c, =3 0, mais a',== i, par exemple. On a

t;ela posé, contient la substitution

laquelle remplace .r, par sans altérer x,; et 1 contiendra S,, transformée de S par T, laquelle remplace x, par Xj. Or on voit aisément que parmi celles des substitutions de S, qui n'altèrent pas x,, x,, il en est une au moins, T,, non écbangeable à S, : et I contiendra Sr'.’Tr' S, T,, laquelle lai.ssc X, invariable, et diffère de l’unité.

269. PaoposiTiox 11 : I contient une substitution différente de T unité, et i/iti n'altére ni x, ni y,. — Car soit S une substitution de I qui n’altère pas x, :

DES SUBSTITITIONS. »i:l

elle remplacera par une fonction f\ x„+ d',y„.

dont les coeiricieiits satisfont aux relations (3g).

i“ Si b\ “O, d’oii O, ,'J, contient une sulislitutiun T qui rem-

place Xj par fe'jXj -f- d^y^ sans altérer x,, v, (266); et I ronlienl S,, transformée de S par T, laquelle remplace/, par /, -+-Xj. fada posé, si S, se réduit ii R,,„ I contiendra sa transformée par P,,,, laquelle n’altcre pas X,,/,. Dans le cas contraire, parmi les substitutions de qui n’altèrent pas X,, /,, X, il en existe une, T,, non échangeable à S, : I contiendra S^'Tr'S.T,, qui laisse x,,/, invariables, et diffère de l’unité.

3” Si //, =3 1, les relations (3g) montrent que l'un au moins des produits b\d^,... sera ^«(Diod.a). Soit, pour fixer les idées, b\d^^i, d'où b\ = d^=i . On aura et 5c contiendra une substitution T

qui laisse x,,/,,x, invariables, et remplace /j paerf", v,-t-//,Xj-i- </,Vj Le groupe I contiendra S,, transformée de S par ï, laquelle remplace v, par X, -t-x,-t-/„ et n’altère pas x,. Cela posé, si S, laisse x,, invariables, I contiendra sa transformée par P,,,, laquelle laisse x,,/, invariables. Dans le cas contraire, parmi celles des substitutions de 5» qui laissent invariables x,, /,, x, il en existe une, T,, non échangeable à S,: et I contiendra Si‘'Tr' S, T,, qui laisse x,,/, invariables, et diffère de l’unité.

270. PiioposiTioa III : I contient une substitution qui n'altère que les qiiatie indices x,, x„ y-,'. — Car, en poursuivant le raisonnement qui précède, on voit que I contient une substitution qui laisse-invariables les indices x,, /,, Xj, puis les indices x,, v,, Xj, /,, etc. On pourra continuer ainsi jusqu'à ce qu’on arrive à une substitution qui n’altère plus que les quatre deruiers indices, x»,, v„,, x,, Sa transformée par P,.*, Pj,«, laquelle appartient à I, n'altérera que x,, /,, x„ D’ailleurs elle satisfait aux relations (37) et (36), et, par suite, sera de la forme

à, X, -*- c', /, d, X, -+- c, r,. i'i X. -t- d', )\ -t- b‘, x, -t- d', y, a, X, ■+- cl /, -I- a' X, 4- c’ i’ x, -f- </' /, + A' x, -1- d’, y, x„ y,

271. Proposition IV : Si n > 2, I contient une des substitutions

Premier cas. — Si c, = 1, I contient S,, transformée de S par Q(', R"',- qui est de la même forme que S, mais remplace x, par/,. Si S, est échangeable

ini LIVRE DEUXIÈME.

il M], elle se réduit à M, ou à MiMj. M:iis si I oonlicnt .M,, il ronlient |i:ir l:i même M, .P.'J.M, P, , = M, .Mj. Paulin il contiendra sa transformée par laquelle laisse x, invariable. Si, au contraire. S, n’est pas échangeable à M,. I contiendra Sf*. M^' S, Mj, qui différé de l’unité, et laisse encore X, invariable. On retombe ainsi sur le troisième cas qui sera discuté plus loin (273).