Second cas, — Si c', = o, on aura .Mais supposons qu'on

n’ait pas à la fois d^ = o, c’,= o : contient une substitution 'F qui remplace ar, par à^x, sans altérer x, ; et I contient S,, trans-

formée de S par T, laquelle remplace x, par a-,.

I” Si S, est ée.liangeable à R, ,, elle a l’une des quatre formes suivantes :

Pi.l, Pt.aRl.ï Pé.iOi.i, Pi.» Ql.t R«.ï>

Or, si S, est égale à P,., ou à P(,jR.,j, sa transformée par O,., appartient à T cl laisse x, invariable. On retombe ainsi sur le troisième cas. Si S( = Pi.jQa.i, 1 contient les transformées S, et S, de S, par P,.,P,.j et (l’a,3 Il contiendra donc S^'S.SjS,, et sa transformée par Q, ,, la-

(|uclle se réduit à Qj,,. Si S, = Pi.^Qj., R,,„ I contiendra SJ, (|ui se réduit

2“ Si .S, ii’cst pas échangeable à R,,i, I contiendra Sf‘. R,,;S, R,.„ qui laisse X, invariable, sans se réduire à l'unité; et l’on retombe sur le troisième cas.

273. Tmisicme cas. — Si l’on a à la fois c’, ~a', = c, = o, d’où a’, ^ i, S laissera x, invariable. Quant à y,, elle le remplacera par une des (|ualre fonctions v,, y, -t- x„ y, -i-y„ x, -^y, ■+■ x, ~hy,.

Si S laisse V, invariable, elle se réduit à Mj : I contiendra

M..Rr.;.M, ll,.,= R„.Q..„

puis la substitution

pri «... Q .. P.,.. «... Q... .Qri «...Q... Q ...

laquelle su réduit à R,.,. Si 8 remplace y, par y, -h x„ elle se réduit à R, , ou à R,,, iM,. Üans ce dernier cas I contiendra S’ = R.,, Qj.,, et, par suite, il contiendra R,.,. Si S remplace parjy, -i-y„ I contient sa transformée par M„ qui remplace y, par y, on retombe ainsi sur le cas (ju’on vient d’examiner. Enfin, si S remplace y, par æ, -i-y, -t-Xj-t-y,, elle sera

DES SlBSTntTlONS, ï«:i

<’:galc à H,,, Q,,i, auquel cas on vient de voir que I contiendra R,,,, ou à Ri.jUi.jM,. Mais dans ce dernier cas, 1 contient M,, transformée de S par R,., : on retombe ainsi sur un cas déjà examiné.

274. Paoposrnos V: \ contient la moitié au moins des subsùlulions de

En elTel, I contenant une des substitutions les contiendra

toutes; car un a les relations évidentes