N,.. = (1V>IV.) •N. >IV>P.,.. 0„.= M."' B„. = (M,M. ;-' N„. M. M

qui montrent que toutes ecs substitutions sont transfurmées les unes dans les autres par des substitutions de

Donc I contient le groupe 3 dérivé des substitutions N^,„ Q^,„ R,,., et de leurs transfurmées. .Mais toutes les substitutions de S, sont (26<i) de la forme SS'... S, S'...., S*,, Sl, étant des substitutions de 3.

et l'une des deux substitutions i, M».

Donc, si M„ était contenue dans 3, ce groupe, et, par suite, I se confondrait avec qui serait simple (nous verrons plus loin que cette bvputbèse ne se verilie pas). Si au contraire 3 ne contient pas M„, son ordre sera moitié de celui de *>o: et si I est moindre que S,, il se confondra avec 3.

275. Paoi'osiTiOK VI : 5« pour facteurs de comjmsition ^ et ^ w,.

Il suffit évidemment pour le prouver de faire voir que 3 est simple. Or, si l'on pouvait déterminer des groupes contenus dans 3 et permutables à scs substitutions, soit K l'un de ces groupes, choisi de manière que sop

ordre O .soit minimum. L'ordre ^ de 3 serait une puissance exacte de U ( 59). Mais ^ n'est pas une puissance exacte, du moins pour n — ’3, 4< 5,

fl «

Nous achèverons la démonstration en prouvant que la proposition étant vraie pour n — 1 , le sera pour n.

Supposons en effet que le groupe K existe : on voit comme (268-2ü'J) que l'une au moins de scs substitutions. S, laisse invariable l'un des couples d'indices, tel que a-,, y,. Le groupe 3' formé par celles des substitutions de 3 qui n'altèrent pas x,, est précisément ce que serait 3, si au lieu de n couples d'indices on n'en avait que n — i; donc il est simple, par hypothèse. Donc les transformées de S par les substitutions de «V, combinées