ARTICLE QUATRIÈME. DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES
$ 1. Fonctions logarithmiques.
19. RÈGLE POUR DIFFÉRENTIER UNE FONCTION LOGARITHMIQUE.—Pour avoir la différentielle du logarithme d’une quantité, on divise la différentielle de cette quantité, par cette quantité elle-même.
En effet, soit à différentier log. x. Soit log x =2. Ajoutant à chaque variable sa propre différentielle, on a log (æ+ dr) =2+dz, d'où l’on tire de — log (x + dr) — 2, ou d logæ=log (x + dr) —log x —
æ + dr dx log =log |1 +—|,encffectuant la di- T T ,
vision des quantités, indiquée par la différence de leurs logarithmes. Donc (*)
dx dr? dx3 dx dlogx = ÀA|———+ -—+&c|-=A—, en æ 2242 8x æ
négligeant les termes affectés de dx?, dx3, &c. infiniment petits du 24, du 3€ ordre, &c.
[*] Voyez note B.
Danslesystémenépérien, ou celui deslogarithmes hyperboliques, le module A étant 1, on a dlog x
= —; donc, &ec.
dan nan—ldx
Exemples, 10... dlog, an =] = an an ndz z ady + yde dy dx 20... d'log. xy = ——=—+—, ry Y à x dx dy 30. … dlog.— = d(log x — log y) = ——— = y SE | ydz — 2dy ry | 40. … dlog = d (log zx — log (1+ 2) = T4 23 dx 2 xdx d'log x — +} d.log(1 +a2?)= —— ————œ 2 (1 + x?) de + x?2dx — x?dx dx e(l+e) æ(l+e)
MP dues: D 50e … log. V(a+ ban)P= — d log (a + ban) — m
pnban—1 dx
m (a + bxn)
am
Pr
Go. d, (log a" = m (log apn—T d. log x = dx m(logæ)}n—l— , æ 70. … dam (log jt =mam-1 (log x)" dx + nm dx (log æjn-1 — = man] (log x) dx + nam-l x
(log nl de = am-1l (log x)n—1 dx (m log x + n).
dx dlogæ 7x dz 80. … d. log (log &) = —=—7= log.æ Jlogz æxlogr a+z :
go. … d, log -——=dlog (a+zx) — d.log (a— x) a— 2x dx dx adax — vdx+ adx + xdx 9 adx = + ER —| à atz a—x a? — x? a? — 1?
| $ 2. Fonctions exponentielles.
18. RÈGLE POUR DIFFÉRENTIER UNE FONCTION EXPONENTIELLE.—On multiplie cette fonction par la différentielle du produit de son exposant et du logarithme de la racine.
En effet, soit à différentierxy. Soit 47 = z. Prenant les logarithmes de chaque membre, on a … i
dz log.+7= log 2, et en différentiant (17),d. log x =—:
donc d2 = 2 d. log. 2Ÿ; et en substituant à zet à de leurs valeurs, on à
d. ay = xY d. log. x = xy d'(ylog tj): e. q. f. d.
#9. Remarque. La base du système népérien étant e = 2, 7182818, dont le logarithme hyperbolique est 1, on aura en différentiant, … d.es = et d'(tlog.e)= efdx, c’est-à-dire que cette exponentielle particulière a pour différentielle l’exponentielle même multipliée par la différentielle de son cxposant.
$ 3. Fonctions trigonometriques.
20. DirrÉRENTIELLE D'UN SINUS.—La différentielle du sinus d'un arc est égale au produit du cosinus par la différentielle de cet arc.
En effet, soit y =sinx. Ajoutant à chaque variable sa différentielle, on a y + dy =sin (x + dx) = sin &, cos dt + sin dx cost. Ordxr étantun arc infiniment petit, on aura 10 cos dx = 1; … 2 sin dt =dx (puisque un arc infiniment petit est sensiblement égal à son sinus). Donc y + dy=sin t+ cos ædx : etmettant les valeurs de y et de y, sin æ +d.sinx= sin æ+ cos tdx. Enfin, effaçant le terme commun sin 7, on a d. sin 7=cos Tdx : donc, etc.
LR
men LE ES
®1. DIFFÉRENTIELLE D'UN COSINUS.—La différentielle du cosinus d’un arc est égale au produit négatif du sinus par la différentielle de cet arc.
En effet, sin2r +cos2x = 1. Cette équation différentiée donne 2 sin x d. sinr+2 cos x d. cos x = 0. Divisant par 2, et transposant, cos & d. cos & = —- sin d. sin tr.
sin æ d. sin t Douc d cos x = — — . Mettant (20) cos T |
sin 2 cos t'dr la valeur de d. sin x, on a d. cos x =— -——— cos T
= — gin tdr. Donc, &c.
22. DirrFéRENTIELLE D'UNE TANGENTE.—La différentielle de la tangente d'un arc est égale à la différentielle de cet arc, divisée par le carré de son cosinus.
sin t En effet, tan x — . Différentiant cette COS æ
équation (15), ontrouve
cos t d'sinr — sin + d. cos x d.tan x =-- ——— — — —; cos æ
et, mettant les valeurs de d. sin et de d. cos x, trouvées aux n%. 20 et 21, on obtient
cos? xdx + sin zdx (cos? x + sin? x) dx d.tanx— = .
cos? v cos? x
Puisque cos? x + sin2x = 1, on a enfin dx
d.tan x = ———- ; donc, &c.
cos? x
23. DIFFÉRENTIELLE D'UNE COTANGENTE.—ZLa ll différentielle de la cotangente d’un arc est égale au
quotient négatif de la différentielle de cet arc par le carré, de son sinus.
En effet, cot x = . Différentiant (15, ex. 4e),
tan x
d. tan x on trouve d. cotz=— ————, Mettantla valeur tan? x
| dx (il de d. tan x (22), on obtient d. cotxz =—————--,
cos? x tan? x sin æ
Mais tan x = ; d'oùl'ontirecosrtanæ=sinx.
| cos æ | dx (fl Donc enfin d. cot x =—
Donc, etc.
sin? x
24. DIFFÉRENTIELLE D'UNE SÉCANTE.—La différentielle de la sécante d'un arc est égale au produit continu de la tangente, de la sécante, et de la différentielle de cet arc.
Il En effet séc x — Différentiant, on a | cos æ
d cos x
| d,sécx= — . Remplaçant d cos æ par sa il cos?
NS j Û + (Are MT ë RENE + Pas 1
À sinvdx ' valeur — sin xdx (23), on obtient d. séc x =
i cos?x î = (en décomposant) La sin © 1 le au COS T COS #à ar Li Ê sin æ 1 Mais— = tan r, et—— = sécx. Donc enfin … cos æ Cos æ c. de), d. séc x = tan x. séc x. dx. Donc, &c.
ï 25. DIFFÉRENTIELLE D'UNE COSÉCANTE.— La différentielle de la cosécante d'un arc est égale au
leur produit continu: négatif de la cotangente, de la cosécante, et de la différentielle de cet arc.
ns En effet, coséc x = —, Différentiant,on trouve Are sin x ; ; d.sin x cos tdr Inx. d. coséc x = — (0) rs 2 sin? © sin? æ cos? 1] cos æ pe dr. Et puisque —— = cot x, ct que sin æ sin x sin æ À dif 1 | mé ‘ = coséc x, on a enfin PME sin æ da
d, coséc x = — cot x. coséc +. dr. Donc, etc.
