DÉMONSTRATION DE LA FORMULE DE NEWTON

| | Li ®7. Soit (1 + rm = À + B x + C a+ Dr3+ Re. Al | À, B, C, D, &c. étant des coefficients dans lesquels | n'entre point r. Cette équation devant avoir lieu, | quelle que soit la valeur de x, soit x= 0 : elle se réduit alors à 1 = A.

sccrareneee peer PL ro

ù || I Substituant donc cette valeur de À, on a (l+aÿ = 1+8B + Cz+ Dr + &e.

Différentiant ies deux membres de cette équa- | ll tion, on trouve

| qu! m (1 +a)n-ldr=Bdxt+2C xdx +3D 2° dr +&c. | Supprimant le facteur commun dx, on a il m(it+an-1=B+90Cx+8Dzx?+ ke.

Soit x = 0, comme précédemment: il vient”m=B.

Substituant cette valeur de B, on trouve m{(1+ xml = m +2 Cax+8 Dr +ke.

dl Différentiant de nouveau, et effaçant dx, on obtient m (m—1) (1+xM2=9C +2, 8 D r + &c.

: Faisant x = 0, on a » (m—1) = 2 C : donc

" es.

m (nm—1)

Continuant ainsi, on trouverait

m (in—1) (—2) ! , &c. ° ‘ 2, 3 DE ï ‘ Substituant ces différentes valeurs dans la première équation, on a

&c. ! m mn (m—1) els $ (ll +aM = 1 + — v+ — a + eu, 1 ne ré- A m (m—1) (r—2) jee ——— 103 + Ge.

1,:9:9 b Soit maintenant x =— ; on aura Ë : a : b\n a+b)\m ! A+am=|1+—| — = ' (a + bjm mb m(m—1) = = l + — — + Su

| am la 1.2 a?

Chassant enfin le dénominateur am, on obtient

nm am m (m—1) am (a + }n = am+ ——D+ ——— + À l a L2 «a À

m (m—1) (m—-2) am ———— —Ù + &c.

et réduisant,

- UD) m. (m—1) | (a + bym = an + — an—1 b + —— n—2 2 + î | 1 1.2 k

m (s2—1) (m—2) —————— «ame 3 + Re.

formule de Newton. (*)

ARTICLE DEUXIÈME