SOUS-TANGENTES

il. 28. PROBLÈME.—Trouver l'expression générale

| de la sous-tangente dans une courbe algébrique quel- À LU conque. (Fig. 1ère.) All Soit la courbe An. Menons l’ordounée pn in- î

| | | finiment proche de l’ordonnée Pm», et mR parallèle | à l'axe AP des abscisses: alors 2R sera la | différentielle de l'ordonnée »P ; et mR = Pp,

[*] Voyez note A.

Voyez aussi 111, note C.

nt

RM ner

OM

celle de l’abscisse AP: de même l'arc infiniment petit »#n, qui est censé se confondre avec la partie correspondante de la tangente, sera la différen. tielle de l'arc Am. Soit AP =zx,mP =. y; donc mR=dr, et nR = dy: soit enfin la sous-tangente

TP=;s.

Cela posé, à cause des triangles »2R, TmP, semblables puisqu'ils ont leurs côtés parallèles, on a la proportion nR: mR::mP: TP, où dy: dzx:: y: S= ydx Fu expression générale de la sous-tangente.

ec rres

Applications de cette formule,

29. PARABOLE.—L’équation de cette courbe est ÿ = pa. En la différentiant, on a 2 ydy = pdr. Multipliant chaque membre par Vs... 2 ÿdy=pydr.

ydt 2%$ÿ Donc = . Mettant la valeur de y, on dy p obtient ydx 2 px ou $ = =? 4%, c’est-à-dire que la sousdy P

tangente est égale au double de l’abscisse.

b2 30. Ezzirse.—L'équation est y? =— (a? — x?), d°

pe À En différentiant, on obtient 2 ydy = — — 2 xdx : &

divisart par 2 et multipliant par y, … Y°dy — b° ydx y?

— — xydr. Done --- = — . Substituant à ÿ

sa valeur, on a

ydx