Si l’on se rappelle la règle pour différentier

€- ! les quantités à plusieurs variables (11, 12), on ver- de ; ra, dit Bezr:it. (*) que pourintégrer les différen-

>s tielles à pl! :.: variables (lorsque cela est pos-

x sible), il fuuc rassembler tous les termes affectés de

la différentielle d'une même variable, et les irté- * grer comme si toutes les autres quantités étaient ua constantes. Alors si l’on différentie cette intégrale, en faisant varier successivement toutes les vari- ni ables, et si l’on retranche le résultat de la différentielle proposée, l'intégrale qu'on a trouvée (augmentée d’une constante) est la véritable inté-

grale, s’il ne reste rien. S’il y a un reste, on sui- { vra à l'égard de ce reste le même procédé que l’on a suivi d'abord, et ainsi de suite.

Par exemple, si l’on avait à intégrer

3 a2ydx + 23dy + 5 xy4dy + ySdx …. (f),

(*) Cours de Mathématiques, Nlle Ed. 4e. partie, page 178.

on prendrait les deux termes affectés de dx, savoir:

3 x°ydx + y°dx, et on les intègrerait comme si y était constant (57). L’'intégraleesta#y + xy5.—Différentiant cette qnantité par rapport à æ et à y successivemcut (12), on aurait 3 x?ydx + x%dy + 5 xydy + y5dx, et retranchant ce résultat de la différentiell: proposée (f), il ne reste rien. Donc l'intégrale demandée est a3y + ay5 + C!

6%. Si l’on avait à intégrer rs

ay + 8 a°yde + x°de + 2 xzdx + xdx + yÿ?dy … (g),

+ Sens

en rassemblant tous les termes affectés de dx, savoir: 8 x’ydx + 2 xzdx + xdx, ÿ et intégrant en regardant y & z comme des conpe

stantes, on aurait … 2%7y + 222 + — …, Différentiant

cette quantité en faisant varier successivement

x, Yet 2, on aurait … 3 a2yde + x°dy + 2 redx + a?dz +xdx. Retranchant ce résultat de la différentielle proposée (g), il reste ÿ?dy; on prend done

ÿ l'intégrale de y dy, qui est — , et l’ajoutant à celle

que l’on a déjà trouvée, on à pour intégrale totale

x? Y3 1 jf Dy +ar+—+—+ C |

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