ARTICLE PREMIER

QUADRATURI DES COURBES.

69. PROBLÈME.—Cüarrer une courbe algébrique quelconque (Fig. 1ère),

Solution —Soit l'abscisse AP — 2, l'ordonnée MP = y: donc xR =dy, et mR = Pp = dx.—1T1 est évident que l’on peut prendre pour différentielle de l'espace AimP, le trapèze #npP, si l’on suppose les deux ordonnées #P ct »p infiniment proches lune de l'autre. Or le rectangle #RpP ne diffère du trapèze #2pP que du triangle #nR; il peut donc aussi êt'e pris pour différentielle de l'espace AimP, puisque la surfce de ce triangle #nR est égale au produit de sa hauteur #R= dy, par la moitié de sa base mR= dr, et par conséquent est un infiniment

dxdy petit du second ordre

ue l’on peut néglige:’ , sug

re mt PE

sans erreur sensible par rapport au trapèze #npP, infiniment petit du premier ordre. Mais le rectangle #RpP est égal au proc rit de »P par >R, ou

à ydæ. Donc en intégrant on aura l’espace AimP = S, c'est-à-dire $S = f° ydx.

90. Remarque —On voit ici que l’on peut regarder cet espace AÿnP comme formé d’une infinité de ces trapèzes #npP : donc ces trapèzes peuvent être considérés comme les é/éments de cet espace, et cet espace lui-même est égal à la somme de ces éléments. (53)

Pour intégrer l'expression précédente, il suffit de substituer à y, sa valeur tirée de l'équation de la courbe.

Apyolications de cette formule,

71. PARABOLE. Ï. Espace intérieur.—1° En supposant x variable. (Fig. 1ère.)

L'équation de cette courbe est ÿ = px; donc

3 4 3 4 y=NVpr =p à. La surface S= f'yde =frx dx =

3 3 à 3 2 px—&azpaæ—zxy. Donc l'espace pa

rabolique intérieur AëP est égal aux deux tiers du rectangle formé par ‘’a::scisse et l’ordonnée.

92%. … —2°En supposant y variable.

En différentiant l'équation y? = px, on a 2 ydy

2 ydy =pdx ; donc dt =—-—, DoncsS ir à bis P

2ÿdy 2ÿ3 2ÿy pxy

= $xy, même rép 3 p 3 p p

sultat que celui du n°: précédent.

Quant à la constance C, lorsque y = 0, on voit, par la seule inspection de la figure, que S devient

aussi0. Donc alors S = f ydx = # xy + C, devient

0=0+C: donc C'=0.

#3. IL Espace extérieur.—L'équation de la parabole par rapport à sa convexité étant x2 — Py; a? a2dx on a doncy=—. DoncS =f ydx = f = P 3 œ°x pay

=—-=}—=#zy Donc l'espace para- 3pP D P

bolique extérieur Aomé est égal au tiers du rectangle formé par l’abscisse et l’ordonnée.

#4. III. Espace compris entre deux ordonnées.

Soit cet espace mnpP ; soit AP= a, Pp= »,

mP =b, np=y; alors Apouxz=a+v Donc

y = Vpx=Vpa+ pr. La différentielle de cet es-

pace étant ydv, on aura sa surface S' = f ydv =

J: Vpa+pox dv. Soit pa+pr= 2; différentiant

de ona pdv= dz; donc dv,=—.…, Donc D?

f V2 dz S =$f ydv = f'Vpa +pv X dv = f ——= J e

2 2 Vz | pa + pv ip p p

% (a +0) \pa + pv + C, Pour déterminer cette constante C, soit x = 0.

Alors l’espace #npP, représenté par S = ff ydv

devient aussi 0. … Donc alors 0=2 a Vpa+C'; done C=—?%?avVpa Donc enfin

S = 2 (a +v)Vpa + pv — # a Vpa,

ou 2x Vpxæ— 2? a Vpa, ou ? xy— 2 ab.

Et effectivement ? xy représente l’espace AënpA, et ? ab, l'espace AëmPA; mais AirpA— AimPA — l’espace mnpP, compris entre les deux ordonnées mP et np.

#3. Triancrz,-—La meme formule peut servir

à faire trouver ia surface d'un triangle, quoique ce soit une figure rectiligne.

Soit en effet le triangle ABC (Fig. 1ère), rectangle en À. On a la proportion 1 : tan, C':: AC: AB; d'où AB=tan CxAC, Soit AC = x, AB =,

y tan C= Doncy=br, etb =—. , La surface LA ba?

S = J ydx = à bxdx = — : et substituantla va- : 2

x?y ty

leur de b, .… S=—=—, c’est-à-dire que la sur- 2x. 9

face est égale au demi-produit de la base par la

hauteur, comme on le démontre dans la géométrie élémentaire.

26. CERCLE.—L. Lx comptant les abscisses de l'o« rigine du diamètre.—Soit le diamètre = 1, Alors

6 à , . . 2 l'équation devient y? = x — æ; donc y= (x — x).

* 4 Donc la surface S — f ydx = f (x — x?) de = (+)

Lo]

4 x a? x f* 1 — — — — Ge.

(®) Voyez V, note A,

t n zx dx xdx zxdx

——— — ——— ec.) =

——. mé mt mé mnt mens

En supposant x = le diamètre 1, on aura la sur-

face du demi-cercle = 3 —}—!— 1 — &c., et en

doublant, celle du cercle entier.

99—II. En comptant les abscisses du centre.—

Soit alors le rayon = 1. On a donc l'équation y2=1—2, ety=(1—2?),. Donc la surface S, correspondante à l’abscisse +, =f ydx = f (1— 2) dx =(*)

Demers = S 2 8 16 128 256

— &c.) dr =

a?dx a4dx aSdx 5aëdx 7 «dx À

PE ——— 2 8 16 128 256 23 x5 x? 5x? 7zxll D SERRE :

Supposant + = le rayon 1, on a pour la surface du

(*) Voyez ITI, note À.

1 l 1 ü quart de cercle, S = 1 —— — — 6 40 112 1152

— — &ec., et, en quadruplant, celle du cercle

entier, 28. Erztrse—En comptant les abscisses de-

uis le centre, l'équation est Y2 = — (a2 — x?), P , :

b 3 d'où y = — (a2— x?) … Donc la surface S=fydr= a

b à 3 b a? x — (a — 22) de (+) 4 ( | — vom mu JT F

2 æ 8 at

5 «8 — &c.) dx =

atdr 5 xêdx ét — — &c.)= Bat 1645 1928 8 5 x9 — — &c.).

112 aÿ 1152 «8

En remplaçant x par & dans cette série, on aura la

(®) Voyez VII, notc A.

surface du quart de l'ellipse, et, en quadruplant, celle de l'ellipse entière.

#9. Hyrernozr.—ÆEspaces asymptotiques. — (Fig. 7e.) Soit'AB= 9, BP =; donc AP=g+x.

Dans l’hyperbole équilatère, les asymptotes sont perpendieulaires l'une à l'autre. TL'équation ordinaire de l’hyperbole par rapport aux asymptotes stay =g. Icixou AP =y+x; donc l'équation

devient … (g9+x)y=g : donc y ou MP =

g+x Donc la surface de l’espace BC MP, ou S= f ydæ=

dx f? — = $ log (y +) +C. … Quand BP =x gtx devient 0, l’espace BCMP ou S=0 aussi. Donc

0 = g? log. g + C': done C=— 4° log. g… Donc S = g° log. (g + x) — g* log. g.

Soit maintenant AB ou y=1: alors …

S=log (1+ 2) — log, 1= log (1 + x) —0 = log (1 +x). Done l'espace BCMP = log. AP. On aura de même BCMP =ijog. AP’, &e Donc BCMP: BCM/P/:: log. AP: log. AP/; c’est-àdire que les aires asymptotiquesBCMP, BCM'P’, dans une hyperbole équilatère, sont proportionnelles aux logarithmes népériens des abscisses correspondantes AP, AP; d'où il suit que si les abscisses

ps RAT mr M hr

sont en progression par quotient, les aires correspondantes sont en progression par différence.

80. On peut de même en variant l'angle des asymptotes obtenir une infinité d’autres systèmes de logarithmes. En effet, soit UMV (Fig. 8) une hyperbole quelconque. Soittoujours AB =1. La différentielle de l’espace BCMP est le petit trapèze PMmp, ou le petit parallélogramme PM»p.

Menant po perpendiculaire sur PM, dans le triangle rectangle poP, on aura la proportion

1: Pp:: sin oPp: po = Pp.sin XAY = dx. sin 4, appelant 7 l'angle des asymptotes. Donc le parallélogramme PMnp = PM * po — ydæ. sin A.

Mais y=——. Donc l'espace BCMP, ou S = 1+x ‘

dx f sin Z = log (1 +x)sin {= log. AP. sin 7 l+x

On peut regarder sin 72 comme module.

Dans le système des logarithmes ordinaires, le Ù | module ou sin = 0,434294419 : l'angle qui a ce nombre pour sinus, le rayon étant 1, est de 25 44‘ 25,1 47: tel est l'angle que doivent former ;4: asymptotes d’une hyperbole pour que chaque airë asymptotique soit le logarithme tabulaire de l’abscisse correspondante.

S1. Cycroïipz.—Soit l'axe BR de la cycloïde,

(Fig. 9°) ou le diamètre du cercle générateur= 1;

a ae EE

soit BP=x; mP= vx — x; soit fP y: fn = | dæ et In = dy. Les deux cerdes jt et Bm sont égales è et parallèles, et l'arc infiniment petit f peut être regardé comme le prolongement de la tangente ft. Donc les deux triangles Yfn, mBP ont leurs côtés correspondants parallèles ; donc ils sont |

semblables. Donc on a la proportion BP: Pm::/n:1n, où x: Vx— x:: dx: dy =

Vx— «2 X dx ———————— . Or, par rapport à l’espace extérieur T ADBA, l’abscisse BZ ou x’ = fP ou y, et l’ordonnée hf ou y! = Bp cu x. Donc l’espace B Af ou

S = [y'dx) devient S=fxdy = LÉ — 2) dx

= par conséquent l’espace circulaire BmP (76). Donc de même l'espace extérieur ABDA tout entier = le demi-cercle générateur B#RB.

BR cr Or ce demi-cercle = BmkR X*———-——: donc 4 4

l'espace cycloïdal extérieur ABDA = aussi cr

— , Mais lerectang.c entier BDAR = AR x BR 4 Ë

= BmR x BR = —x27r=cr. Donc l’espace

intérieur BARB=3%cr. Doncilesttriple du decr

mi-cercle BmRB =—. Donc l’espace cycloïdal

ABCA tout entier est triple de la surface dn cercle générateur.

ne tbe)

ARTICLE DEUXIÈME