RECTIFICATION DES COURBES
S2. Rectifier une ligne courbe, c’est déterminer sa longueur, ou assigner une ligne droite qui lui soit égale, ou qui soit égale à un arc proposé de cette courbe.
S3. ProBLÈèME.— Rectifier une courbe algébrique quelconque.
Solution.—Soit l'arc Am —s (Fig. lère) La différentielle est mn — ds. Le triangle rectangle wnR donne l'équation mn = VmR?+nR? ou
ds = Vdx? + dy?
Il suffit de substituer dans cette formule la valeur
de dæ, ou celle de dy, tirée de l'équation de 12 courbe, ei d'intégrer, pour avoir la valeur de l'arc s.
ARE se € | PRE Eve
° RSI PS SPIP SPP AS SSL PSP PR LE
Applications de cette formule.
S4. ParaBoze.—L’équation de cette courbe étant y? = px, on aura, en la différentiant,
2ydy 4 ÿdyÿ?
2 ydy =pdx ; donc Dr — ; donc de? =——.
Donc ds= Vdr? + di = NE
\? Pdf +4pdf . dy ——— "= — (p?+4 P) En réduisant
p° p è (p2 + 4 y?) en série, par la formule de Newton (*),
2yÿ 2yi “. f$ 10% on obtient p+— —— + — —— +&c.
dy Multipliant chaque terme de cette série par —— , on P
(*) Voyez VIII, note A,
DL
Dee SES
be
it
2%dy 2 yidy 4 y°dy ——— +
trouve ds = dy +
p° p{ pÿ 10 y8dy
+ &e. … Donc, en intégrant,
S5. CErcLE.—I. En comptant les abscisses de l'origine du diamètre; —Soit le diamètre — 1. L’é-
quation est alors ÿ=x— 12; d'où y =Vx—x?,
dr — 2 xdx .
donc dy = +. Donc ds= Var? + gp = Nr — x dé — 4 xd + 4 aide ds es =
LR 4 xdx? — 4 r2dx? + da? — 4 xdx? + 4 22dr?2
mm Pc.
Te rar n T—r 9
dx (+ )— at (1 + ga + Ê 2 a+ af + &e.) —
(*) Voyez VI, note A.
à 5 À H(r—idx+kæ ds vd +à a +5 x dr+&c. ;
Donc on aura, en intégrant cette série,
i 3 ; à x BA Ô x 89 x Ê D 3 20 5C 576
En supposant x égale au diamètre 1, eten dou-
blant, on aura
Circonférence = 2 + + Ë + £ Pr + à 5 à + &c. 1
S6G.—II. En comptant les abscisses du centre. Soit alors le rayon =1. L’équation sera pp =l—2?; … différentiant,
‘ tdx tdx 2 ydy =— 2 xdx; donc us cu y 1— 7°
Donc ds = Vuxt+ dy N dr? + ne
7 dr? nd? F ad [de
Lo pu = dax (1 — 1°) —} — (*)
(*) Voyez IV, note A.
aode Saxdr 5 «dr 39 æedx dx + + + + — + &c.
En intégrant cette série, on aura donc
28 Sax Bat 3549 S=T+r—+ + eh GC, 6 40 112 1152
En supposant + égale au rayon 1, on aura
Circonf. tn 2 à ; ds =l+i ++ = +2 + &e. et en dou- 8" 40 © oz Ÿ It ?
Le 1 3 5 35 ‘ blant, 3 Circonf. — 2 + 2 To taetamt ke.
comme dans le problème précédent (85).
PT D Pme
ARTICLE TROISIÈME
