QUADRATURE DE L’AIRE DES SOLIDES DE RÉVOLUTION

87. Un solide de révolution est un solide engendré par la révolution d’une courbe, tracée sur un plan, autour de sonaxe.

SS. PROBLÈME.— Trouver l'expression générale d'une suvface de révolution. (Fig. 1ère.)

PR Po dent dc on mtun mn ND RC A teur 41 ad 2 «56

Solution. —Supposons que la courbe Amn fasse une révolution autour de son axe AB : elle engendrera dans ce mouvement une surface de révolution, dont l'élément ou la différentielle sera la zône décrite par l’arc infiniment petit #27. Or cet arc se confond sensiblement avec la partie correspondante de la tangente. Donc cette zône peut être considérée comme la surface letrale d’un cône tronqué, engendré par la rotation du trapèze Pinnp autour de Pp. Mais la surface latérale de ce

Circonf. Pm+ Circonf. pn CON ONQUÉ = —— © —— X mn.

Soit l'arc Am =5s; sn == ds; soit AP =7x, d’où Pp= dx: soit Pm—y: n7R= dy, et pn = y + dy.

Soit encore S la surface de révolution ; sa différentielle dS sera la surface latérale du cône tronqué, Donc dS =ri(2y+ dy) ds = 2 T1 yds + 11 dyds.

Or o: peut négliger IT dyds, infiniment petit du second ordre. … Donc dS = 2 It yds = 2 rt » Vdx? + dy? (83). En intégrant, on aura la surface de révolution S.

Applications de cette formule,