CUBATURE DES SOLIDES DE RÉ- VOLUTION

92. PROBLÈME.—Cuber un solide quelconque de révolution. (Fig. 12)

Solution.—$i la figure mixtiligne abo tourne autour de son axe ab, elle engendrera, dans ce mouvement de rotation, la solidité d’un corps, dont l'élément ou la différentielle sera le cylindre infiniment petit oemdino ; or ce cylindre est égal au produit de la surface du cercle décrit par ce, par son épaisseur bc. Soit ac =x, ce=y; bc= donc dx. Onala circonférence décrite par ce, en disant L'Tl:: 2y;: Cire. =211y. En multipliant cette

y circonférence par la moitié du rayon ou par—,ona

Il y2 pour expression de l'aire du cercle décrit par ce. Donc le cylindre élémentaire, ou (ex appelant S le solide de révolution) dS= II y2 dx.

Applications de cette formule,

98. ParasoLoïne.—[L'équation de la parabole étant y? = px, on a, en substituant cette valeur de y? dans la formule précédente, dS =IIprdx. Donc,

IIpr2 Il xy? | en intégrant, S =. = , c’est-a-dire =lly, À 9 9

FA l'aire du cercle de la base, par -—, la moitié de la

hauteur du paraboloïde.

Donc la solidité d’un paraboloïde est la moitié de celle du cylindre circonscrit, qui serait égale à IT œp. :

94. SPrHÈRE —L'équation du cercle est y? = 2ax — x2. Done dS = II ÿdx = II (2 ax — 22?) dx. [ r° En intégrant, onaS= II | a —— | +C.

Mais C'= 0, lorsque x = 0.

Soit maintenant x = 2 a; alors $ =

Du Cr

8 a3 12 8 4 Il 4Aai—— | =II a - 3 | =— IT ai, U 3 8 3 ] 3

Lo

ee’

nn ee

c’est-à-dire que la solidité est égale an produit de

4 11 a?, la surface de la sphère (89), par—., le tiers à

de son rayon.

Cependant le volume du cylindre circonscrit serait égal au produit de la surface de sa base, c’està-dire de II «?, par sa hauteur 2 a; donc il serait égal à 2 ITa%, Donc la sphère est au cylindre

circonscrit, comme — : 2%, ou comme 4: 6, ou

comme 2 : 3.