III. Soit y=sin (x +a). Différentiant
dy (20), dy = cos (tv + a) dx ; donc — = cos (t + a) … dx
d-y 4 / 9 ——. 1 Conséquemment (21), — = —sin (x + 4) dx
dy d'y ,e——=—— C08 (2 + a). —= sin (rt +4) dx dx
d5y — = cos {T + a) … &ec.
das
Soit maintenant x = 0 : alors (y) = sin à ….
y) COS 4 — | =— sin 4.
.dzx dr?
. | Z=cost nn &C.
Donc, d’après la formule (G',
y nt : j
sin {æ& + 4) = sin a+ cos à — — sin à — — 1 1.2 hs
rm
as
cos a + sin a + COS 4
Faisons à présent a = 0; alors sin au=0;etcosa= l;
x 13 a5 donc sin x = -— — + 1 1, 2, 8 1, 2. 3. 4. 5
1124—IV. Soity=— (a + x)n …, Onentire …
dy dy =m (a+ x)n-1 dx ; d'où — = m (a+ xml; dx dy — =m(m— 1) (a+a)}n-2 os d'y —=m(m—1l){(m—2) (a+r)n-s….. &e dxÿ 1. ( dy} Donc six =0, (y) = am... | — | =m ami | dx) dy 7 — | =mim—1) an Uar? ) | By :
| — | =on(m— 1) {(m—Q) ans . &ec.
dx
La formule (G) donne alors
Rad ee tn
(*) Voyez note C, IV, Problème ler.
m (oi — 1) (a + DJ = OM Æ RAM x + meme NE à 1. 2
m (me — 1) (me — 2) an—3 a + &c. F
formule du binome de Mewton (27).
115. LEMME.—Si, dans une fonction la variable x se change en x +, on a coeflicient différentiel lorsque x est vari constant, que lorsque kest variable et x constant.
En effet si dansl’équation y =/f x (8), on fait x — æ+ k, et si l’on a alorsy/=f(x+ x), parla différentiation on obtient dy'=f (x +h) d(x+k) (D). Si dans cette équation on suppose x variable et hk constant, on aura
dy’ dyl=f(r+h) dx ; Loù —= f(x +) (EF, dx
Ni au contraire on suppose # variable et x constant,
dy dy =f (x+h) dh; doù—=f(x+4) (PF).
de
De la comparaison des deux équations (E) et (F) dy! dy!
on doit conclure que -—=-—, c'est-à-dire que dx dh
ces coefficients différentiels sont égaux: c. q. f. d.—
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d'y: dy De même —— =— … &e.
dx? di?
116. TuHéorèME DE TayLor.—Soit y une fonction de x ; etsoit y/une fonction dexæ+ 4. En examinant les fonctions de x + . contenues dans les n®% 104,105,106 et 108, «on verra que l’on peut supposer
y/=y+Ah+ BR +C7+ Daft + &c. (H),
À, B, C, &ec. étant des fonctions inconnues de x qu’il s’agit de déterminer.
Différentiant donc par rapport à k, et divisant par dk,
dy!
—=A+2BA+3CX+4D/3+ &c. (1);
dh différentiant de même l’équation (4) parrapportà x, et divisant par dx, on aura
dy' dy dA dB dc.
—=—+—h+— +R + ke (J).
dx dx dx dx
Les premiers membres de ces deux équations étant égaux (115), les seconds membres doivent l'être aussi: égalant donc (*) entre eux les coefficients des mêmes puissances de , on trouvera
(*) Voyez note C.
1 d'y dB 1 dy er te les 2 dx? 8 dx 2.3 dxs
… &c. Mettant ces valeurs dans l'équation (H),on a
dy dy 12 dy à
Yp=y+—ht——+— + &e. (T),
dx dx?1.2 dxs1.2.3 ce qui est la formule de Taylor.
11%. C’est sur ce théorème que Lagrange a basé sa méthode, maisil y parvient par des considérations purement algébriques, et sans recourir aux limites, ou aux infiniment petits.
Applications de cette formule,
. &c. Substituant ces valeurs dans la formule (T),
on à
: lo 1 42 1 45 nr nn Que 2 Vx B8Vas 16 Vars
119.—IT. Soit y = cos æ …. et y = cos (x + h).... Donc (20, 21)
dy d°y dy
— = — SIN L.. — = — COS d . -—ZSINt dx dx? ; dx
dy d5y
— = COS TO, — = — Hi D . &C.
dx dxÿ
Substituant dans la formule de Taylor, on obtient
h L° cos (x + 4) = cos T— sin ? — — cos x + l 1, 2 h3 h4 5 Sin L ——— + cos x — — sin t 1.2.3 1. 2.3.4 1. 2.3.4.5
— &e...—Soitx = 0... alors sin x = 0,ct cosx = 1
Lk° li Donc cos = 1—-— + 1.2 1.92.38.4
