AO

Si l'on détermine la constante arbitraire p^r la condition que farc soit nul quand le sinus est nul, cettq série ne donne que les arcs compris entre ±^17; mais on peut concevoir que la formule donne aqssi les arcs qui sortent de ces limites, moyennant qu'on assigne d'autres valeurs à la constante, ou qu'on change de constante chaque fois que la fonction sous le signe/^éprouve ime solution de continuité. Dans tous les cas, et quelle que soit la valeur de la constante , la série n'a qu'une valeur déterminée pour chaque valeur de x, tandis que la fonction arc sin x comporte i^ne infinité de valeurs. La série est convergente oa divergente pour les valeurs de X numériquement plus petites ou plus grandes que l'unité.

Le développement de la fonction arc sin .t-, suivant les puissances de .r, que l'on vient d'obtenir très-sini-

38 LIVRE V. CHAPITRE Ilf.

plement au moyen de l'intégration par les séries ^ aurait amené des calculs compliqués, si Ton avait voulu faire usage de la formule de Maclaurin.

*317. Proposons-nous encore d'exprimer en séries la valeur de l'intégrale y^""* dx^ qui se présente sans cesse dans la théorie mathématique des chances : on a

e-' =1 1 5 4- etc.,

d'où

<af , , ^ I ^ \ X^

e""' dxzzr.x — -;r- H • -=• :r • 1- etc.

développement toujours convergent* L'intégration par parties donnerait

ce qui conduit à cette autre série convergente

/ e'-*^dx=ie'"^x\i'\ — ^ ^\-—J-.^J^—l — I- etc. L J o L i.o 1.0.5 1.0.5.7 J

Enfin l'intégration par parties donnerait encore

/e-'V.r= / - .e-'^xdxzzz ï- .6-'* — ~ / ^ ?, J X IX ^J X*

d'où

r ,. er^^V I 1.3 1.3.5 "1

et en remarquant que tous les termes de la série devien^t nent nuls pour a:=:QO ,

/ e^^^dxz= I - + --—- — -4-etc. •

Cette dernière série finit toujours par diverger ; mais la

INXiGRATION PAR LES SERIES. 39

convergence subsiste d'autant plus longtemps que le nombre x est plus grand ; et il est permis [a 5] de faire usage de la portion convergente de la série , pour le calcul approché des valeurs numériques , attendu qu'on peut toujours assigner des limites aux valeurs des intégrales

et par suite à l'erreur que l'on commet en arrêtant la série à un terme de rang quelconque. Tel est l'avantage inhérent au mode de développement qui résulte d'une succession d'intégration par parties.