De la formule de Maclaurin

^=/o)+/'(o)~H-/'(o).~+/"'(o).^ + etc. (a)

on tire généralement

ffxdxz=cona. 4-/o).^+/(o).^+/'Xo).-^-^ 4- etc. ou

V^=/(o>f -»-/'(o>^-4-/'(o).^ +etc. («,)

Si la série (a) est convergente, la série (aj l'est aussi : en effet, en arrêtant la première au terme de rang i j on commet une erreur exprimée par

6x étant une valeur de la variable comprise entre o et x ; et par conséquent , lorsqu'on arrête la seconde série au terme de même rang, l'erreur commise a pour valeur

Pour que les séries (a), (a,) soient convergentes, il faut et il suffit que les quantités négligées {e) , (^,) tombent

au-dessous de toute grandeur donnée, pour des valeurs convenables de i^ et pour toutes les valeurs de x^ comprises entre les limites de l'intégration. Or, si cette condition. est. satisfaite à l'égard de la quantité (^) , elle le sera à plus forte raison à l'égard de la quantité (^,). 319. L'intégration par parties donne

l fxdx'=xfx — tf^x^xdxy l f*x.xda:=z-x^f'x lf*x,xdx^

ffx.x'dxz^^x'f'x — ^ ff'"x.a^dx, etc.; d'où résulte la série suivante, due à Jean Bernoulli , fxdx-zn const. +/r« fx» V-f^'^' — ^ — de» (/)

On aurait pu la déduire directement de la série de Taylor

F(a:-f-A)=Fx + F'.r.- + F"a:. — + P"ar.-^+etc.i

car si l'on fait dans celle-ci^ 1= — x^ on en tirera

Fa:=F(o)+F'jr.^-^F".r. — -i-F'''x.-^— etc.

et en posant Y'x:i=fxy

Jfxdx=Y{o) +fx.^ -f^'-^l '^^"^^ T^ ~ ^^""^

Or, il est clair que F(o), ou la valeur dejjfxdx^ quand X est nul, est aussi la valeur de la constante arbitraire qui entre dans l'équation ( /).

320. Lorsque la fonction Jx n'est pas susceptible de se développer en séries dont la convergence soit assez rapide , ou lorsqu'on n'en connaît pas l'expression analytique et qu'on a seulement une table de ses valeurs pour des valeurs de 4a variable indépendante suffisamment

rapprochées , on peut toujours calculer approximativement l'intégrale /^d!r, ou Taire de la courbe qui a pour ordonnée^, en divisant l'intervalle d^ limite3 de l'intégrale en parties suffisamment petites ^x et en prenant la somme des aires des rectangles qui ont pour Base Ax, et pour hauteur, soit l'ordonnée Jx, soit l'ordonnée f{^'^^)i soit une ordonnée intermédiaire [33]. L'inté* grale ffxdx pourra être calculée par ce procédé avec une approximation indéfinie, si la fonction^ a une expression mathématique d'où l'on puisse tirer les valeurs de^ pour des valeurs de x indéfiniment rapprochées : en admettant toujours que cette fonction ne devienne point infinie pour des valeurs de x comprises entre les limites de l'intégration. Quand nous traiterons en particulier du calcul des différences finies et de leurs sommes , nous entrerons dans les détails nécessaires sur cette manière de calculer approximativement les v^ leurs numériques des intégrales.

$ a. Des cas sipgi^liers que présente le passage des intégrales

îndëfinies aux intëgrales définies.

321. On a remarqué, dès le commencement de ce Traité [54]« que, lorsque la fonction fx passe par l'infini pour une valeur Ç de x , comprise entre x^ et x^^ de manière que la différentielle /xr^r prenne, pour .r = Ç, UQe valeur infinie ou indéterminée, l'intégrale définie

yxdx=iYx,—Yx,, (5)

concilie de l'intégrale indéfinie

ffxdx == F.r + const. ,

ne peut plus représenter la somme des valeurs de la différentielle fxdx entre les limites x^^ x, , ou la limite

42 LIVRE V. — CHAPITRK III.

vers laquelle converge la somme des produits /à;. Ao:, obtenue en divisant Tintervalle x, — x^ en parties Ax de plus en plus petites. En effet , dans le cas dont il s'agit , cette somme ou cette limite cessent d'avoir une valeur assignable, et, à proprement parler, n'existent pas. Ainsi, pour donner des exemples très-simples de ce cas exceptionnel, on a

^— ^ = log {x—l) + const.; d'où l'on conclut, en passant aux intégrales définies.

Mais si Ton suppose Ç >o et < :r„ l'intégrale définie (6) a une valeur négative , tandis que la quantité sous le signe y*reste constamment positive ; ce qui montre bien , à posteriori, que cette intégrale définie ne peut plus être considérée comme une somme d'éléments différentiels. De même, dans cette hypothèse, l'intégrale définie (7) P^^^à une valeur imaginaire , tandis que la quantité sous le signe y ne cesse pas d'être réelle.

Si pourtant, comme M. Poisson l'a remarqué, on fait passer la variable x entre les limites données par une suite continue de valeurs imaginaires [17] dont aucune ne rende infinie ou indéterminée la différentielle ^éi^r, rien n'empêchera de considérer de nouveau l'intégrale définie (5) comme la somme des valeurs imaginaires qu'aura prises dans l'intervalle l'élément différentiel/rctr, somme qui peut être évidemment, selon les cas, imagi-

naire ou réelle. Dans les exemples donnés ci-dessus, on pourra prendre

x=i-xAi — cosB-h i/Hï.sinô),

d'où

dx=z - X, (sin 6 -|- V^Hl . cos 6)rf9 ;

et les limites de la nouvelle variable 6 correspondant aux limites .r==o, x=x^^ pourront être

6 = 0, 6=(2*+l)lC,

/ désignant un nombre entier quelconque.

322. Quoique la fonction^ devienne infinie pour la valeur x=l\j comprise entre les limites x^^ x^j la différentielle ^^d[r peut ne pas prendre pour x=^ une valeur infinie ou indéterminée, et dans ce cas l'Intégrale définie

Jxdx

exprime encore la somme des valeurs de la différentielle

fxdxj entre les limites de l'intégrale. Ce point a déjà

été établi d'une manière générale par la considération

des courbes [35 et 54]. Pour y appliquer le calcul,

nous remarquerons que lorsque la fonction /r est ren-<

due infinie par la valeur ;r=^, on peut la concevoir

mise sous la forme

k désignant un exposant tel que la fonction tx ne devienne pas nulle ou infinie pour x:=±^. Cela posé, si l'oa fait

il viendra

44 LIVRE V. CHAPITRE Ui.

Jyxd^ = -±jJ''4^tdt, . (8)

/„, t^ désignant les valeurs de t qui correspondent à x=Xoy .r=j;,, et <^t étant la fonction qui provient de la substitution de la valeur de ^ en ^ dans fx. Par hypothèse la fonction ^t coqserv^ une valeur finie ; et si l'exposant k tombe entre o et i , ^ conserve aussi toujours une valeur finie entre les limites de l'intégrale; de sorte que la différentielle

fxdx = T ^tde

conserve toujours upe valeur infiniment petite , et que l'intégrale (8) est la somme des valeurs de cette différentielle entre les, limites de l'intégration.

I^a transformation tombe en défaut si l'on a /c=z i , et dans ce cas l'élément différentiel/ict/r prend, pour .2X=:Ç, une valeur finie et indéterminée, pourvu d'ailleurs que la fonction /.r ne passe, pas brusquement d'une valeur finie à une autre, quand x atteint la valeur^. En effet , l'on peut considérer cet élément différentiel comme la limite vers ^quelle converge l'intégrale définie

r^'^'^j /^+'^' fx ,

quand on prend pour e un nombre positif de plus en plus petit : ^, ^, désignant d'ailleurs des nombres quelconques, finis, constants et positifs. Dans le passage à cette limite^ le terme ix converge vers la valeur constante f^ , finie et unique par hypothèse : donc on a

quantité indéterminée, à cause de l'indétermination des constantes ^oj^i.

En général y que la fonction fx soit algébrique ou transcendante, on peut poser

{x — }^fxdx-=Sxy ^désignant toujours la valeur de x qui rend 7^ infinie; et selon que la quantité f^ sera nulle, finie ou infinie ^ l'élément différentiel fxdx aura une valeur infiniment petite, finie et indéterminée, ou bien une valeur infinie; et dans te premier cas seulement l'intégrale

^ fxdx

pourra être considérée comme une somme d'éléments différentiels.

*323. Lorsque, dans l'intégrale définie

la fonction Jx ne devient point infinie pour les valeurs de X comprises entre les limites x^, a:, , quelle que soit d'ailleurs la valeur attribuée au paramètre e, il est indifférent d'attribuer à e une valeur déterminée, par exemple de supposer cette constante nulle, avant ou après l'intégration. Mais cette propriété, qui appartient aux intégrales définies eu tant qu'elles représentent une somme d'éléments différentiels , ne subsiste plus en général , si la fonction /' passe par l'infini entre les limites de l'intégration.

Prenons pour exemple l'intégrale définie

Bdx X ^o / \

-q— ; = arc tang-^ - arc tang y (9)

Si les nombres x^^ x^ sont tous deux positifs, en sorte que la fonction sous le signe ne passe pas par Tinfini entre les limites x^^x^^ même dans l'hypothèse 8=0, cette hypothèse donnera d'une part

46 LIVRE V. — CHAPITRE Ilf.

/*, %dx /**. ,

et d'autre part

.31?, j;^ w iç aire tang — ï — arc tang — = ; = o}

ée façon qu'il sera effectivement indifférent de substituer la valeur de e en dedans ou en dehors du signe fj avant ou après l'intégration. Mais, si le nombre x, était positif et le nombre x^ négatif , la première substitution donnerait toujours zéro pour la valeur de l'intégrale , tandis que la seconde donnerait

arctang arc tang — = — | — =zit,

La raison en est que la fonction sous le signe devenant infinie pour la valeur x==o, l'élément qui correspond à cette valeur singulière prend une valeur finie, tandis que tous les autres éléments restent nuls, par suite de la valeur attribuée à £.

Ce qui prouve bien qu'en effet tes autres éléments de l'intégrale sont nuls, c'est qu'on peut attribuer aux nombres x^ x^ des valeurs finies quelconques^ et même des valeurs infinies; en d'autres termes, étendre ou resserrer arbitrairement les limites de l'intégrale, sans en altérer la valeur. Pourvu que la limite supérieure demeure positive et la limite inférieure négative, la valeur de l'intégrale définie sera égale à la constante ir.

M. Cauchy a donné le nom d'intégrales définies singulières aux intégrales telles que (9), qui échappent par leurs propriétés anomales aux règles ordinaires du calcul des intégrales définies.

324. Lorsque l'une des limites de l'intégrale est l'infini , positif ou négatif, ou lorsque l'une des limites est

l'infini positif et l'autre l'infini négatif, il faut, pour que l'intégrale ffxdx puisse conserver une valeur finie, que

la fonction

xfa = fx

s'évanouisse lorsqu'on y fait x ± oo . Admettons, pour fixer les idées, que les limites de l'intégrale soient — oo , j oo : en désignant toujours par s un nombre positif qui couverge indéfiniment vers zéro, et par Ç^, Ç, des constantes finies et positives quelconques, on pourra poser

/« , r /"~« fxdx f* îxdx f^fxdxl

/^* ,. r /*"'« fxdx f^fxdxl

=J J^dx-^lvm. \J L~-^J . -^-J-

Donc il faut qu'on ait

r f'* fxdx r^^txdxl

=f(-oc)log^+f(oe)log(l)

et par conséquent

f(— oo) = o, f(oo) = o,

à cause de l'indétermination des constantes ^09 ^i*

* 325. Si la fonction fx est périodique, de manière qu'à chaque valeur Aefx corresponde, dans l'étendue d'une période, une autre valeur numériquement égale et de signe contraire, la valeur de l'intégrale définie est nécessairement indéterminée. Ainsi, de l'équation

sin mxdx = — (i — cos mx)^

on déduit

sin mordlr z= — (i — cos oo ), o /«

valeur indéterminée (puisqu'il n'y a pas de limite vers laquelle converge le cosinus d'un arc^ quand l'arc devient de plus en plus grand), mais pourtant comprise entre

les limites o, — •

Concevons maintenant que l'on multiplie la fonction périodique^ par une fonction f(&2r), telle que 9 (o)=i, et que l'intégrale y*(p(6:r) dx^ prise avec des limites infinies, conserve une valeur finie. Il en sera de même à plus forte raison pour l'intégrale f^tx). fxdx. La valeur de cette intégrale variera en général avec celle du paramètre €, en convergeant, aussi en général, vers une certaine limite,^ quand on prendra e de plus en plus petit. £t puisqu'à la limite le fecteur (p (&r) se réduit à l'unité, on pourra considérer la limite vers laquelle converge rintégraley*(p(6x)^^ comme la valeur de l'intégrale ffxdx^ ce qui lèvera l'indétermination de cette dernière intégrale.

Ainsi nous aurons, d'après les formules {h) du n°

«""sin mxdx

«~" cos mxdx-= -r -;

ce qui donne, quand on îaîxt

/sinwfar£fcF=:— , / cos i9u;d[r= o, o m J o

équations déterminées, mais qui doivent être interprétées suivant la convention que l'on vient d'exposer.