Passons à l'équation

à laquelle on satisfait par les valeurs particulières A cos oLat cos a(j7 — Ç), B sin aat cos atfx — Ç) ;

et admettons que , pour ^=o , les fonctions u, -=- doivent se réduire respectivement à

On satisfera à l'équation (8) et à la condition (9), en prenant

w = — / / cos OLat cos a(a? — ^)f^d^da, ;

mais cette valeur de u donne —=:o, pour ^=0 , et

conséquemment ne satisfait pas à la condition (10). Au contraire la valeur

I /** Z'* Sinoa^ . rsi^nr^

u= / / cos a(x — Dtteltaai

d'oïl l'on tire

INTÉGRATION PAR LES INTEGRALES DEFINIES. 429

-y- = — / / cosaa^cosa(^ — Ç)fjrf5da,

satisfait à l'équation (8) et à la condition (lo), mais non pas à la condition (9), puisqu'elle donne u;=o pour t=o- Donc l'on satisfera à la fois à la proposée et aux conditions (9), (lo), en prenant

M = — / / cos aat cos a(^ — ^fXd^doL

I /*•/"* sinaar . t\ctjrj

— 1 1 cosa(ar — ;]fça^aa.

On sait que l'équation (8), qui est celle des cordes vibrantes et des ondes sonores dans un tuyau cylindrique, a une intégrale sous forme finie, dont l'intégrale précédente doit être une transformation. En effet , la prenûère partie de la valeur de u peut être mise sous la forme

7" / / [cosa(:r+û^ — $)+cosa(ar — at — 5)]y^û??e/a, et par le théorème de Fourier elle se réduit à

La seconde partie de la valeur de u devient par une transformation semblable

^TçaJ ^^J —oD L a a J ^ '

L'intégrale

/** rsina(j: + fl^ — S) sina(j? — at—l)!, -co L a * J

se réduit [4i3] à ir ou à — ic, suivant qu'on a

et par suite t > o , ou au contraire

ce qui suppose t < o. Elle s'évanouit pour les valeurs

de Çqui tombent hors des limites Ç=a:-— a^, ^=:x-|-a/, et qui donnent le même signe aux facteurs x-\-at — ^, X — at — Ç. Donc Tintégrale (i i) a pour valeur

En reunissant les deux parties de la valeur de u, on retombe sur l'intégrale (la) du n® 556.

On trouve sans difficulté , pour Téquation

d^u ^ /d^u d*u d^it\

7u , /rf*tt

dr \da;* rfj* dz^J

qui renferme les lois de la propagation des ondes dans un milieu dont Télasticité est la même en tous sens, ou dans un milieu non cristallisé^ une intégrale de forme analogue à celle de l'équation (8). Soient y (xy jr, z), f (x, jTj z) les fonctions auxquelles doivent se réduire u

du et — pour /=o, et posons

/(?,Y,,Ç) cos fr^ H- f(Ç,Y,,C)^=e :

l'intégrale sera

Mais cette intégrale sextuple , dans laquelle^ il serait difficile de Ure l'expression des lois du phénomène ^ se transforme^ comme M. Poisson Ta fait vbir Q, en une intégrale double

Â'^J ojo 4^ dtj oj o

air o

aw *

/'(x~\-atco8B,jr'\'afymbBm(ùfZ'\'aiaiiA cos tA)tainBdlbdtà.

O Nbupeaux mémùings dé f'Atadémie dès seieneety toth. in.

mT]éGRA.TION PAR LES IKT^GRALES 1>ÉF1NIES. 431

£n général y la difficulté consiste à abaisser, autant que la nature du problème le comporte , l'ordre de l'Intégrale multiple à laquelle conduit immédiatement l'application du théorème de Fourier; et cette réduction ne paraît point encore soumise à des règles générales.