Considérons en dernier lieu l'équation

dt- ■ dx^~ '

qui se rapporte à la propagation des vibration» transversales d'une verge élastique, dont nous supposerons la longueur indéfinie de part et d'autre du centre de l'ébranlement primitif. On admet toujours que l'on doit

avoir u=.fx et -7- =fa: pour t=o.

La proposée est satisfaite par la valeur particulière

u:=iA.cosa^atcosaL{x — ?) :

donc , tm calcul entièrement semblable à ceux; qui précèdent donnera pour l'intégrale complète :

« :=^ — / / cos oL^at cos a(^ — l)/ld^doL

^ — ^ / / 1 — COS afx — Ç)f ÇéiSrfa.

La première partie de la valeur de u se ramène à une intégrale définie simple; car, d'après la preïnière équation (i) du n"* 409, on a

COS oi^at cos a(a; — l)doi

et si l'on pose en eonaéquence

^ssisar -4- awW<'S, (12;)

la première partie de la valeur de u ppcrtdrar la forme

432 LIVRE VII. CHAPITJRE V.

j I (sin 0)* -+- cos iù^)f{x + iiù\/at)d(ù.

Donc, si la fonctioa {x est nulle, ou si les molécules de la verge élastique ont été écartées à l'origine de leurs positioDS d'équilibre, sans recevoir de vitesses initiales dans les plans perpendiculaires à l'axe de la verge, on aura simplement

u = -j= / (sin w*-H cos ^^)f{^ -f- atoV/iirVA»,

formule remarquable par son analogie avec réquation

Pour les plaques vibrantes, de même élasticité en tous sens^ l'équation des vibrations normales est

5F"*"'' V.5?^"*"^iS^"*"^j— ""•

Admettons qu'à l'origine du temps la fonction u se réduise à/'(x,^) et que la fonction — soit nulle : on exprimera la valeur de u par l'intégrale quadruple

COS (a» -4- P*) «' cos a(x — Ç) cos PO — Tfl)y(Ç,'n) J^dndad^,

L'intégrale double

Jj cos (a* + P') at cos a(x — Ç) cos ^(^ — Ti)<farfp

= / / [«» *'^ao» ^at—nn a'/Uàn p><tf]coi a(x— Ç) cm ^—■n)Ja. <$ (i 3)

peut être obtenue ; car, si l'on effectue d'abord l'intégration relative à a , en employant les formules (y) du n** 409, oh trouve

INTI^GRATIOIf PAR LES INTÉGRALES DEFINIES. 433

[cos aî^at cos ^at — sin ti^at sin ^ai\ cos tL{x — Ç)rfa

(d ayant la valeur donnée par l'équation (isî). Ainsi l'intégrale ( 1 3) devient

%/ — -sinr-r + w* ]/ cosP"a^cosP(7 — y))rfp

— \/ — • sin f - + w* j / sin |3 'af cos P(jr — 'njrfp.

Mais, dans cette dernière expression, les intégrations relatives à ^ s'effectuent de la itiéme manière, et si l'on pose

il vient pour la valeur de l'intégrale (i3) J^[sinQ+«o')sinQ+<-")sinQ-«-)sinQ-a.-)]

= — sin(a>*+u)'»).

Donc la valeur de u prend cette forme aussi simple qu'élégante ,

u = — I I sin (w* -+• »'») .f{x 4- 96» \/ir, y + %fd \/'t)dv^vi ;

T, II. a8