PARTIELLES

575. Considérons d'abord Téquation aux différences partielles du premier ordre et à trots variables

et soit (fX la valeur de z en fonction de x quand la variable/ est nulle : on aura, pour^;^=o,

Par conséquent, si la fonction Oo: resté finie pour toutes les valeurs de or, et si A;^ désigne une quantité très-pe* tite du premier ordre ^ on aura, aux quantités près du second ordre, iiz=^xAj'; de sorte que, à ce degré d'approximation ,

z = car + ^ j? . A/ = ç ^o:

est l'expression, en fonction de x, de la valeur de z qui répond à y=h.y. On déterminerait de même l'expression z=i^'iPC qui répond \ j:=:.i^y^ et ainsi indéfiniment.

Concevons que x^y^z désignent les trois coordonnées rectangulaires d'une surface :

2=<pjr {h)

sera l'équation de la ligne d'intersection de la surface avec le plan xz. Le plan tangent à la surface suivant cette ligne aura pour trace en xz la tangente à la courbe (A). En vertu de cette condition et de l'équation (a), la direction du plan tangent se trouve complètement

CONSTRUCTION DES ÉQUAT. AUX OJFF. PARTIELLES. 435

déterminée pour chaque valeur de x; en sorte qu'on peut tracer dans lespace la surface cylindrique qui enveloppe, suivant la courbe arbitraire (b) , la surface qu'il s'agit de ccmstruire au moyen de l'équation (a). Si l'on coupe la sur&ce enveloppe par un plan parallèle à celui des xzy et dont la distance à ce plan est une quantité très-petite du premier ordre, l'ordonnée de la section de l'enveloppe ne diffère que par une quantité trèspetite du second ordre, de l'ordonnée de la trace de l'enveloppée sur le même plan : la section de Tenveioppe peut donc être prise pour la ligne de contact de la surface avec mie seconde enveloppe que l'on construira comme la première, et ainsi de suite.

Au lieu d'assigner arbitrairement l'équation de la courbe d'intersection de la surface et du plan .rz, on aurait pu donner celle de la section de la surface par tout autre plan parallèle.

Il résulte de là que, si l'on peut assigner une expression de z en Xjjr^ qui satisfasse à l'équation (a), cette expression j pour avoir le même degré de généralité que l'équation aux différences partielles à laquelle elle satisfait, doit contenir une fonction arbitraire dont on puisse disposer pour faire passer la surface par une courbe donnée.

576. On arrive au même résultat quand on substitue à la construction d'une surface dans l'espace , la construction sur un plan horizontal de la série de ses lignes de niveau [ia6]. Supposons qu'en outre de l'équation {a)y on donne la trace de la sur&ce sur le plan horizontal des xj'^ ou l'équation de cette trace

ou aura, pour tous les points de la surface qui appartiennent à la courbe (p), /^H-^r^'^trzi^o. Cette équation,

436 LIVRE Vir. CHAPITRE VI.

jointe à la proposée (a) , donne en fonction de x^j^ les valeqrs dep^ q et celle Ae p^+q* pour chaque point de la surface appartenant à la ligne de niveau (^). Menant des nonnales à chaque point de cette courbe , et prenant sur chaque normale une longueur égale à la quantité très-petite du premier ordre — , on tracera

sur le plan xjr (aux quantités près du second ordre) ia projection d'une seconde ligne de niveau , pour laquelle l'ordonnée z aura la valeur A^. En suivant le même procédé, on se servira de cette courbe pour tracer la projection d'une troisième ligne de niveau, dont l'ordonnée z aura la valeur 2Àz, et ainsi de suite.

577. Ces considérations s'étendent aux équations aux différences partielles du premier ordre, entre un nombre quelconque de variables. Soit l'équation ^/ du du du\ du ^. du du\ , .

avec laquelle il faut construire la fonction u des trois variables indépendantes x^y^z. A cet effet , il est nécessaire qu'on assigne la fonction f/zz=:ç(j:,^) pour une valeur particulière de 2, telle que 2=0. On aura ensuite, pour 2= A 2, quantité très-petite du premier ordre ,

d'où, aux quantités près du second ordre, Amz=::<^(^,j). As,

u =i^x^) + 0(^,7) . As = ^ix^\ On déterminerait de même la valeur w=Ç2(^^), qui correspond à z=2Az, et ainsi indéfiniment.

Donc, si l'on peut assigner une expression de u en x^^y^Zy qui satisfasse à l'équation (c), cette expression, pour avoir le même degré de généralité que l'équation