CONSTRUCTION DES J^QUAT. AUX DIFF. PARTIELLES

aux difFërences partielles à laquelle elle satisfait, doit contenir une fonction arbitraire de deux quantités variableSy dont on puisse disposer pour que la fonction a se réduise à une fonction donnée de deux des variables Xj/^Zy lorsqu'on assigne à la troisième variable une certaine valeur particulière.

La même chose se voit par la considération des surfaces de niveau {1:19]. Concevons, en effet, qu'on ait tracé dans l'espace une première surface de niveau

pour laquelle la fonction u ait une certaine valeur particulière, telle que zéro : on aura, pour les points {x^yZ) qui appartiennent à cette surface,

I du du ^i du t '\

p dx dz q dy ^* -

p>q désignant les valeurs de — 5 —, qui se tirent de

lequation (y). Les équations (c) et (y') détermineront donc, pour les points en question^ les valeurs des

trois dérivées partielles — > — » —, et, par suite, celle

uûj ^y €bZ

du radical

Si maintenant on élève en chaque point de la surface Vy) une normale à cette surface , et qu'on prenne sur chaque normale une longueur égale à la quantité trèspetite du premier ordre ~-, on tracera dans l'es-

pace (aux quantités près du second ordre) une seconde surface de niveau, pour laquelle la fonction «^ aura la valeur Aw [129, i5i et 238]. Par la continuation du

même procédé, on construira la fooetion u, en construisant la série de ses surfaces de niveau.

578. Une équation aux différences partielles du second ordre, entre la fonction 2 et les variables indépendantes Xjjr, est, dans le cas le plus général, de la forme

Admetlons d'abord qu'elle se réduise à

si on la met sous ia forme

on s'en servira pour construire ccNntae précédemment [675] la fonction z , après avoir assigné arbitraâi*eaieat la valeur z=(p:r, pour^=o.

Mais si l'on résout la même équation (d) par rapport à r, et qu'elle devienne

on construira de proche en proche les valeurs de z pour .<i:r=A^, a:=:aâLX, a:=:3àx^ etc., en se donnant arbitrairement les fonctions de y qui expriment les valeurs de

dz z et dep= -p pour x = o. Car, soient ^y et xijr ces

deux fonctions arbitraires, on aura : pour x=o^

d'où, aux quantités près du second ordre.

D'ailleurs, les fonctions z et ^, qui ont pour valeurs ^j' et ^y, quand .r est nul, deviennent, pour .r=A:r, toujours au même degré d'approximation.

CONSTRUCTION DES ÉQUAT. AUX DlFf. PARTIELLES. 439

Maintenant, pour x=aàXy la valeur de z est

et, en continuant de proche en proche le même calcul, on déterminerait la série des valeurs de z.

On voit donc que l'équation en x^yr^ z qui satisfit av€C toute la généralité possible à l'équation (d)^ peut contenir une ou deux fonctions arbitraires , selon que ces fonctions arbitraires doivent être déterminées par des conditions relatives aux valeurs initiales de x, pu par des conditions relatives aux valeurs initiales de jr. Ce fait d'analyse , qui a presque semblé paradoxal y la première fois qu'on en a fait la remarque sur l'équation r==:q [55 1], s'explique donc très-simplement par la nature des équations aux différences partielles.

579. Admettons présentement que la dérivée s entre dans l'équation proposée qui aura la forme

F(^> 7» h Pi î» r, 5)= o. ' {e)

S'il s'agit de construire la fonction, au moyen de sa valeur initiale 2=<pa:, pour ^=0, la substitution de cette valeur initiale donnera

Y\x, o, çr, (p'x, y, 9"x, ^ = o, (e)

équation différentielle du premier ordre, d'où l'on peut tirer par l'intégration la valeur initiale de q en fonction de X. L'expression de cette valeur initiale dépend de la fonction arbitraire ^x ^ et contient, en outre, une constante arbitraire introduite par l'intégration ; ce qui revient à dire que, pour la construction de la fonction z, il faut se donner, outre la fonction (px, la valeur numérique <le q relative à^=o et à ^cizzo, ou à toute autre valeur particulière de x. Soit q^=z^{xyG) la valeur de q en

440 LIVRE VU. CHAPITRE Vï.

fonction de x et de la constante arbitraire C , obtenue par rintégrdtion de Téquation (c) : on aura, pour ^^=A^-, aux quantités près du second ordre ,

Pour la même valeur de jr, on aura q=4>i (a:,C,), C, désignant une nouvelle constante arbitraire , amenée par l'intégration de l'équation

et ainsi de suite. La série des constantes arbitraires G, C, , etc., peut être considérée comme une fonction arbitraire de ^, qui doit être donnée , ainsi que la fonction 9x, afin qu'on puisse construire la fonction z, assujettie à vérifier l'équation {e).

Si l'on donnait y pour ^=0, les valeurs initiales zi=. <^, p = xiy^ on aurait en même temps

et l'on rentrerait dans le cas traité au n*^ précédent.

Enfin , si la dérivée t entre dans l'équation proposée aussi bien que r, la symétrie se trouvera rétablie^ et le mode de construction sera le même, soit qu'on résolve l'équation par rapport à r ou par rapport à t.

Cette discussion s'étendrait aisément aux équations des ordres supérieurs^ où le nombre des variables indépendantes serait quelconque.

580. Il convient de remarquer que, si le temps est Tune des variables indépendantes , c'est par rapport aux valeurs initiales de cette variable que doivent toujours être censées données les fonctions arbitraires exigées pour la construction de l'équation aux différences partielles. Par exemple , pour la construction de l'équation

CONSTRUCTIOli D£S l^QUAT. AUX OIFF. PARTIELLES. 441

du d*U , .

OÙ u désigne la température au bout du temps / , de la tranche d'une barre cylindrique qui correspond à l'abscisse x [56!^] , il faut admettre qu'on donne la fonction i/=q>^ qui exprime la loi des températures de la barre^ quand t a une valeur déterminée , telle que zéro. Abstraction faite de la signification des lettres u^x^ t, on pourrait sans doute construire la même équation en assignant les valeurs ^t et rit de £/ et de -^

pour une valeur déterminée de x, telle que x=o: mais il répugne que l'on ait pour données du problème les fonctions ^t et vit; et, au contraire , la série des valeurs de u est essentiellement déterminée en vertu de l'équation (i)^ jointe à la condition initiale f/=:(p.r. Ceci est une conséquence de l'attribut de la variable t sur lequel nous avons maintes fois insisté, celui d'être indépendante par essence, et non en vertu d'une convention arbitraire.

Les procédés exposés ci-dessus seraient sans doute presque inapplicables dans la pratique : mais cette exposition a pour but de faire comprendre ce que représente en soi une équation aux différences partielles, qu'elle comporte ou non une intégrale analytique.

581. Tous ces procédés de construction arithmétique exigent que les dérivées conservent des valeurs finies. Soit, par exemple, l'équation

p{x—Xo)—qx=o, (2)

qui appartient [2 54] atix surfaces de révolution autour d'un axe perpendiculaire au plan ,2^, et qui coupe l'axe

442 LiVliK VII. CHAPITRK VI.

des^ en un point dont la distance à l'origine est désignée par^o ' on mettra cette équation sous la forme

et , en supposant qu'on donne la valeur

z = (par, (3)

pour^=o, on pourra appliquer le procédé de construction du n^ 575, mais pourvu qu'entre les limites de la construction x ne s^évanouisse pas, ce qui rendrait infinie la valeur de q. Effectivement nous avons remarqué [a 56] que la courbe méridienne d'une sur&ce de révolution autour d'un axe donné , n'est pas, en général, déterminée dans toute l'étendue de son cours, parce qu'on donne la courbe d'intersection de la surface nveq un plan tel que le plan œz; et que, par conséquent, la surface même ne l'est pas dans toute son étendue. D'après la direction que nous attribuons ici à l'axe de révolution, si l'on mène des plans parallèles au planx^, par les points où la courbe (3) coupe l'axe des z, la portion de la surface de révolution comprise entre ces plans est la seule que détermine le système des équations (a) et (3). A la rigueur, la construction du n® 5'] 5 ne donne même pas toute cette portion de surface, mais celle qui est comprise entre d'autres plans parallèles au plan xj-^ et aussi rapprochés qu'on le veut de ceux qui ont été menés par les points où la courbe (3) coupe l'axe des z. La solution de continuité, correspondant à .r=o, e^t là pour empêcher que la construction ne puisse s'étendre à des portions de surface qu'en effet les données de la construction , savoir les équations (12) et (3) , ne doivent pas déterminer.