CHAPITRE PREMIER

CALCUL DES DIFFJSRENCES FINIES ET DES INTEGRALES AUX DIFFÉRENCES FINIES, POUR LES FONCTIONS EXPLI- CITES d'une seule variable.

582. Nous avons, dès le commencement de ce Traité [livre I, ch. lY], considéré les différences finies entre les valeurs que prend successivement une quantité variable, et nous les avons désignées par la caractéristique À placée devant la variable; nous avons opéré sur la série de ces différences comme sur la série primitive, en prenant les différences des termes consécutifs, de manière à former des différences du second ordre désignées par la caractéristique A*, et ainsi de suite. Mais nous n'avions alors pour but que d'arriver à la théorie des différences infinitésimales des divers ordres, et de poser les principes du calcul différentiel , auquel se rattache tout ce que l'on connaît jusqu'ici de plus important dans la théorie des fonctions. Cependant il existe entre les différences finies des divers ordres et les variables dont elles dérivent, des relations qui méritent aussi d'être développées, et dont le développement donne

naissance à une autre branche de la théorie des fonctions que Ton nomme le Calcul des différences finies. C'est le sujet dont l'exposition sommaire terminera le présent ouvrage.

Désignons par

une série de valeurs de la quantité^, au nombre de Ai -H I : on aura [43]

n^ n(n — i) ^ n{n — iY/2 — 2) ^,

Cette formule, où la valeur j^ se trouve exprimée au moyen de la valeur initiale jo et de ses différences, jusqu'à celle de l'ordre n inclusivement, peut s'écrire symboliquement

ainsi qu'on Ta expliqué dans le n*' cité.

Réciproquement, la différence A" ^o P^^^ s'exprimer au moyen des termes de la série (^„) : ainsi l'on trouve par des substitutions successives

Aro=ri— jo, A>o=r.— a/.-fjo, AVo=r3— S/.+Sj,— j., etc.

Toutes ces équations rentrent dans la formule

à laquelle s'applique sans difficulté le tour ordinaire de démonstration de proche en proche. Admettons en effet que la formule {b) subsiste pour l'indice n : ou aura

A»+'/o=A"7x— A"jo=7«+i /«+ -^^ ^r»-.

/i(/i— ly/i— 2) n /i(/î— i)

=Xn+r — — J-.+ . . /.-.-- — ^-i^ — -r— > + etc. J

DIFFÉREirCES FINIES. 445

en sorte que la formule subsistera encore pour l'indice A^+ 1. D'ailleurs elle peut s'écrire symboliquement

pourvu que l'on convienne de changer après le développement les exposants de^en indices, et d'écrire ^o au. lieu de l'unité dans le dernier terme du développement.

583. Considérons^ comme une fonction d'une autre variable x, de manièf*e que le passage de la variable x par les valeurs successives

entraîne le passage de la fonction j- par les valeurs correspondantes

Xo^ Xr^ y^^ X^y 7*» ' V «y

le calcul des différences de la fonction ^=:^, a pour

objet d'exprimer ces différences en fonction des différences de la variable .r, d'après la forme assignée à la fonction y!

La supposition la plus simple qu'on puisse faire, consiste à admettre que la variable x croît par intervalles égaux, en sorte que les séries {x^ et (^„) deviennent ^o> x^ + ^x^x^ + i^y x^+^^Xy .. x^-)rnSx'y

Dans cette hypothèse , rien n'empêche de prendre Ajc = 1 ; car si l'on avait ^x=hy h étant une constante différente de l'unité, il suffirait de poser a;=^o+'^> pour que^ devînt fonction d'une nouvelle variable iy qui croît par intervalles égaux à l'unité.

Si la variable x ne croissait pas par intervalles égaux, le calcul des différences de la fonction^ ne deviendrait un problème déterminé qu'autant qu'on exprimerait la

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qui reprend les mêmes valeurs chaque fois que x augmente de A.r, et qui d'ailleurs peut avoir une forme quelconque. Donc, par réciprocité, si la fonction f est donnée , et qu'on puisse trouver par un moyen quelconque une fonction y* qui ait f pour différence, la fonction j- sera encore indéterminée, non-Seulement quant à sa valeur numérique, mais quant à sa forme.

Pour construire, au moyen de l'équation (f), une courbe dont / est l'ordonnée, il faut concevoir que l'on ait préalablement tracé, d'une manière arbitraire, la portion de courbe MN {^. io3), dont les points extrêmes ont pour abscisses OP=Xo, OQ=^o-+-Ax,en s'assujettissant cependant à la condition que la différence HN des deux ordonnées extrêmes soit la valeur de A/ donnée par l'équation ( f ) quand on y fait xz=iXo. La courbe sera déterminée alors dans tout le surplus de son cours : car, soit Op=x une abscisse^quelconque comprise entre Xo et x^+^Xj on prendra />^=Ax, et la différence hn des ordonnées pm, qn sera donnée en vertu de l'équation ( f ). Donc le tracé de Tare MN déterminera, concurremment avec l'équation ( f ), le tracé de Tare NN. , dont lies points extrêmes ont pour ordonnées x^Aç-tiXy o^o-f-aA^: ; et comme la même constnicdon peut être indéfiniment répétée, tant dans le sens des x positifs que dans le sens des .t négatifs, le tracé de la courbe entière se trouvera déterminé. Bien entendu que ce tracé peut offrir des solutions de continuité d'un ordre quelconque.

585. L'opération qui consiste à revenir du terme by-i au terme ^„ ou à construire la série (c) par le moyen de la série (y), est une sommation proprement dite. En effet , l'on a identiquement

en sorte que, par une simple addition algébrique, on construira la série (c) avec la série (y) , pourvu qu'on ait en outre le terme initial ^09 qui tient lieu de la constante ou de la fonction arbitraire dont il vient d'être question , selon que ^ est une variable discontinue ou continue.

De même qu'on emploie le signe/' pour indiquer une somme de différentielles, ou une intégrale proprement dite , on emploie le signe 2 pour indiquer une somme proprement dite, ou une intégrale aux différences finies. Les caractéristiques 2 , A sont inverses l'une de l'autre, et s'effacent réciproquement , comme les caractéristiques /j d. Ainsi, de la formule précédente on tire

et le terme 2^o désigne alors la constante ou la fonction arbitraire amenée par l'intégration.

En adoptant une notation analogue à celle qu'on emploie maintenant pour les intégrales définies ordinai-

res, on écrira

et par suite

^JXi =/o+7, -h 7a 4- -^Xi^i • W

Nous avons déjà employé, dans le cours de cet ouvrage, la caractéristique 2 comme signe de sommation ; et quelquefois la notation

sert à désigner d'une manière abrégée la somme des valeurs de la fonction^/, pour toutes les valeurs de l'indice /, de i=io jusqu'à /=/, inclusii^ement, La formule {e) montre qu'il faut exclure de cette somme le T. II. 29

dernier terme/,, lorsqu'on prend la caractéristique 2 pour signe d'une intégrale aux différences finies.

Dans le cas contraire > on lèvera toute ambiguïté en remplaçant 2 par S , et en écrivant

L'opération dont le signe 2 est l'indice , peut se répéter indéfiniment y de même que l'opération inverse, indiquée par le signe A , et la répétition de l'opération s'indique de la même manière par un exposant affecté à la caractéristique. Ainsi l'on tire de la formule (d)

2*7,= 2*/o+ 2;ro + 2/,+ 2/,+ +2/i„ ,

r7, = 2yo + 2'7o+ 2>, + 2>,+ .... +2>,-x , etc.

Comme Ijr^ , 2;^,, . . . 2^,-, sont déterminés en fonction de ^j-o par la formule (d) , on voit que l'expression de j^y-i renferme deux constantes ou' fonctions arbitraires, savoir 2^^ et 2/o. I^ valeur de 2^, dépend de ces deux quantités arbitraires, et en outre d'une troisième quantité de même nature 2^^o. £n général , l'intégrale indéfinie "/, dépend de n constantes ou fonctions arbitraires, selon la nature de la quantité/.

586. En désignant par t^, i^,w,... des fonctions quelconques d'une même variable, et par a une constante, on a évidemment

A(M-hf/4-fv 4- . . . .)=Att + A(/H-A«'+ . . . . , 2(M + j; + «;-f- . .. .)=2ï4 4-2(' + 2«'-f- . . . . , A.a«=aAii , 2.att=a2«.

Le procédé de l'intégration par parties [55] s'applique aux intégrales 2 comme aux intégrales ordinaires. Si l'on pose

w désignant une fonction inconnue qu'il s'agit de déter-

DIFFEREIVGES FINIES. 451

miner, on aura, en prenant les difFérences des deux membres,

ui^ = (if + A(')2 («1 + A«) — p2m -I- A«' , d'où

\wz=: — A(^2(tt + Ail) ,

et par^suite