Mt»=^2« — 2[AP2(«4-Aa

ou bien, en écrivant m^ au lieu de u+^Uy

Le même calcul répété donnera

2 . «t' = (^2m — A^2»tt. + 2 (A v2»«,) , 2 . M(; = (;2« — A(^2*M, -♦- AV23tt, — 2 {à?v^^u-^) ,

2, uif z=z ifÏM — A(;2'ii, + AV2^Wj — . ùi^v^^u^ + etc. On peut écrire cette dernière équation sous la forme 2.M(^ = f'2M — A(;(2*ii + 2M)

+ÀV(23m+ 22*tt+2«)— A3^2^tt+323tt+32'tt-f.2a)-4- etc. Le développement s'arrêtera lorsque les difïérences de la fonction ^, après un nombre suffisant de différentiations,' deviendront constantes.

587. Admettons que^=/ii; soit une fonction entière et rationnelle de x : cette fonction se composera d'une somme de termes de la forme A^*", A désignant un nombre constant et m un nombre entier positif, de sorte que la différentiation des fonctions rationnelles entières se ramène à celle de la fonction j?^=j::".

Posons donc

70 = ^"*, /, =(^-+-Ar)"*, etc. :

on aura, par la formule du binôme, en ordonnant suivant les puissances, décroissantes de x,

Aro= A.a?"» =7w.î^-' A^ H — ^^ '^ a:"»-"»Ar* •+-... (g)

452 LIVRE VIII. CHA.PITRE ï.

et par suite, en ordooDant toujours de la même maDière,

On trouverait de même

A3.a;"=/n'(/n — 1)('» — a) a?""^ Aj:r3 -H . . . ., et généralement \*.af'-=m{m — i)(m — 2) (m — i+i)^-'4ur*4-. ... ;

ce qui résulte d'ailleurs de ce que le rapport ' . doit

se réduire à \. , quand on fait à la limite Ajf=o. Donc on a .

^mjjn :::^fii(^m — 1^(;^| — 2). . ; . . 3.2.1. A^r» , [h]

et comme cette différence est constante, les différences des ordres supérieurs s'évanouissent.

D'un autre coté la formule {b) donne

+ ^ ^) [x-\'{n — 2)Aar]"* — ±0:" .

Si nous développons et ordonnons le second membre selon les puissances de âx, en posant, pour simplifier,

71* (n — ir4--^ ' (n-'ny

nin-i)in-^) ^

il viendra

A»* , jc^zzJïo^'^H Nxa:"-'lJ7-i— ^ N,^-*Aa;*+

• • • • ■ \". J-^]}| t^ûxr •

Mais on vient de voir que la moins haute puissance de * Ax, dans le développement de A".^, est Ar"; donc la

fonction N^ est identiquement nulle pour toutes les valeurs de i inférieures à n.

On a aussi , d'après la formule {h) y

\^:a^z=zn{n — i) («— 2) ....... S.a.i.Aj;" ;

et par conséquent