PRINCIPES DE LA THEORIE DES VOITCTIONS ELLIPTIQUES

326. Nous avons vu, dans les deux premiers chapitres du présent livre, comment l'intégration d'une classe nombreuse de fonctions algébriques et trigonométriques est ramenée à dépendre de la détermination des trois intégrales

T ^ • flll)

(l -f-ûsin^ç) |/i — c>»in»ç' ^

de sorte que, si ces trois intégrales pouvaient s'exprimer en fonction de «p^ sous forme finie, par des radicaux, des logarithmes, des sinus ou des arcs de cercle, on aurait sous la même forme les intégrales indéfinies, et par suite les intégrales définies d'une infinité d'autres fonctions plus compliquées.

Une telle expression n'est pas possible (*). Les inté-

: grales (I), (II), (III) sont des transcendantes nouvelles,

auxquelles on peut, pour l'abréviation de l'écriture,

affecter des caractéristiques spéciales, de même qu'on

désigne par l'abréviation log x l'intégrale définie

(') Voir le mémoire de M. Liouville dans le 23^ cahier du Journal de l'École polytechnique, p. 37.

qui n'a pas d'expression algébrique [70 et 1 38 ]. En conséquence, Legendre a proposé et l'on est convenu d'adopter les notations suivantes :

J o V^ I — c* sm» 9

de manière à ce que les intégrales indéfinies (I), (II), (III) aient respectivement pour expressions

F(c,<p) + const. , E(c,<p) + const. , II(c,a,cp) -f- const.