Soit

yz=:x{x — à^){x — 2A«) ..... \x — {m — i)A:r] :

il viendra

^jrz=zx(x—bix){x- — 2A.r) \x — (m— 2)Aa7].7«Aa: ,

d'où il est facile de conclure

A*jz=^(a: — tix){x — aAo:)

\x — (jn — 3)Aa;]./w(/w — i)A^* ,

et plus généralement

\*y:=T.x{x — Ajp) {x — aA^r) ....[^ — (m — i — i)Aa;].m(/w — i) ....

[m — t+i)Aa:' .

Il y a donc une analogie remarquable entre la formule qui donne la différentielle de la puissance x"^ ^ et celle qui donne la différence de la factorielle [4^7] composée de m facteurs, quand les facteurs consécutifs ont pour différence Ax, et quand le premier facteur est x.

Si l'on posait

yz=zx{x'\'^)[x-{-i^) \x-\-{m — i)Ax\ ,

on trouverait de même

Aj=(a?-»- Ar) (a:+2Aa:) \x-^m — i)Aa7],wA:i? , [i)

et par suite

Ay=(^+« Aa;)[a;-h (i-|- 1 ) Ar] .... [ar+(/w — i) Ao;] ,m{m — i ). . . .

. . . ..[m — /+i)Ar* .

Soit enfin

x{x'\-tix) (^+2Aa;) .... [x'\-[m — i)A.:pj *

m Ao?

i^iy—± M^+0 (^+^) (/n-|-^— i). Aa:< ^

les signes -|- et — correspondant respectivement à i pair et à i impair.

589. Les fonctions exponentielles et circulaires se prêtent d'une manière fort simple à l'opération indiquée par le signe A. On a immédiatement

Aa*=a*(aA* — i), A»a* = a'(aA* — 1)« ^ . . .

. . . A*a* = a'{ai^' — i )' , (*)

et, par les premières formules de la trigonométrie,

A sin a: = 2sin | Ar . cos (.îc + ^ Ar) , j ,-.

Acosa:= — ssin^A^:. sin(^4-iAd:) . ( On en conclut

A' sin 0? = — 4 siii' ^ Aj:.sin (ar-f-Aur) , A* cos a;= — 4 siii* I Ar . cos (^+ Ax) , et plus généralement

A*» sin x= dz a** sin*» | Aj? . sin (x -+- lAo:) , A** cos J7 = zt 2»* sin** i Ajf • cos (a?-4-i Ar) ,

A**+'sin^=ifca**+' sin*»+'-Aa?.cos ( a:+ -~- Ax j ,

A»»+'cosa?=z±:2»«+' sin"+*-A^.sinra7-f.^y^Aar j •

On doit prendre le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que ^ est pair ou impair.

590. Les intégrales (aux différences finies) des fonctions en petit nombre sur lesquelles peut s'effectuer l'opération indiquée par le signe 2 , s'obtiennent par le renversement des formules de différentiation établies ci-dessus. . Considérons d'abord la fonction x": la formule (^) donnera , après qu'on y aura remplacé m par

DIFFiREKGES FINIES. 455