r^=^--T :r^ + -^ ar* A.y r.a:«Aar

o Ar 2 2.0 2.6

etc. *

Chaque intégrale doit d'ailleurs élre complétée par une constante ou par une fonction périodique arbitraire^ ainsi qu'on l'a expliqué [584]- On obtient par ces formules l'intégrale aux différences de toute fonction algébrique , rationnelle et entière.

On ne verrait pas facilement sur ce tableau la loi

que suivent les termes successifs du développement de Jjc^ : nous reviendrons sur ce point, par des considérations plus générales, dans le chapitre suivant. On tire des formules (i), (y), (A*), (t)

2 ja?(jr+Ax)(ar-h2iir) .... [x + {m — i)Aar] j

x{x+Xr){a:+!iÙLv). . . .[a;+(m — i) Ao?]

{m — i)A:i:..r(a?+Aa:)(a:+2Aj?).,..[j?+(/w — 2)Aar] '^^^

S.fl*= ^—+Viy ' (q)

2 sm ^ Ao: f , .

sin(j: — ^Aa:) . l ^ ^^

2 sin ^ Ar /

v^ désignant la constante ou la fonction périodique arbitraire.

591. Les formules du précédent u^ s'appliquent naturellement à la sommation des séries. Suivant la notation indiquée [585], désignons par S'^ la somme des termes de la sérié dont le terme général est/-,, cette somme comprenant les termes extrêmes ji^ ^ji , de manière qu'on ait

les formules (m) donneront d'abord

Sj.^*=I + 2' + 3'-i- ..... +«•= 5«'-f--rH ^l

etc.

On sait que les séries des nombres figurés commencent par l'unité , comme les précédentes , et ont pour termes généraux

on peut donc appliquer la formule (n) à la sommation de ces séries , et il vient

^rl+I)(i+2) l(/+I)(^+2)^(^+^)(^+2)(^+3)

etc. ;

en sorte que la somme de l'une quelconque de ces séries est le terme général de la série de Tordre immédiatement supérieur : relation bien connue , et qui peut être prise pour la définition des nombres figurés.

Les séries réciproques qui ont pour termes généraux

se somment au moyen de la formule (p\ à l'exception de la première , pour laquelle la formule fait défaut ^ à cause d'un facteur qui s'évanouit au dénominateur. On trouve pour les autres