La formule de Taylor donne

A£r= — .f'^H .P'x-A X . f"j:-hetc. •

d'oïl fe= — .2fa;+ — .2rar + -^.Sr':p + etc. ,

et, en posant {^x=^fx^

ou bien

Mais , par la même raison ,

^fx=4-.fx——. j^f'x ^. 2/'''^ — etc., id)

Sx «. ^ . Ad?*

Sx*' ^ 1.2 ' "^ 1.2.3

etc. ;

ce qui permet d'éliminer de la série (a) les intégrales ^f'x^ ^f'x^ etc. On fera l'élimination à la manière ordinaire ^ eu combinant par voie d'addition les équations

2/'^=T;/'^— TT- V"'*-r^- 2/"-^-etc. (a")

(«), (a'), (a"), etc. , après avoir multiplié tous les termes de («') par le facteur A^A^c, tous les termes de (a") par le facteur Ax^% et ainsi de suite ; puis en égalant à zéro les multiplicateurs des intégrales qu'il s'agit d'éliminer. Ce calcul donne

+ A,i!Lry"x+etc. : (i)

les coefficients numériques A, étant déterminés de proche en proche , indépendamment de la forme de la fonction y, par le système des équations suivantes

A ' 4 . Ao I

AoH = o, AxH 1 ô = o >

^3+-r-T-4 ôH ôttH 1 i g=o,etç.

Prenons yx=:^ : il viendra

et l'équation (i) nous donnera, après la suppression du facteur commun e'^

—z = -^ + Ao 4- A,Aar + A,Ar' -f- AsA^r^ + etc. ;

e^ — I Ax '

d'où il suit que le coefficient A< est celui qui multiplie

a* dans le développement de la fonction

e«— la ^ ^

suivant les puissances entières et positives de a. En remettant pour Ao sa valeur -— r 7, on a

A,a + A,a + Agtt -f. etc. = •— h -

aV^' — e *J

FORMULE d'eULER. 461

Or, le dernier membre de cette équation est évidemment une fonction impaire de a : donc , dans la siérie qui est le développement de cette fonction impaire , les coefficients des puissances paires de a doivent disparaître. Donc , pour toutes les valeurs paires de l'indice i^ autres que zéro , le coefficient A^ est nul.

Si l'on effectuait le développement dont il vient d'être question , on obtiendrait l'expression de A^ en fonction immédiate de l'indice / : mais nous n'insisterons pas sur ce calcul compliqué, quoique élégant; les coefficients Aj pouvant être commodément calculés de proche en proche au moyen des équations (A) dont la loi est évidente.

Comme les coefficients A,,^, sont alternativement positifs et négatifs, nous mettrons l'équation (i) sous la forme

2/0: =C + ^ ffxdx — -fx + A^Zb? .fx — AgAr' .f'x

-f- AsAr^ * P ^ — etc. , (2)

C désignant la constante arbitraire qu'entraînent les signes d'intégration indéfinie 2 et y! Alors les lettres Aa,^.! représenteront toutes des nombres positifs. .