Si l'on pose

Bat+i = 1.2,3 .... (2î -f- 2) . A^j.i ,

la suite des nombres 8»,+^ est celle des nombres de Bernoulliy ainsi appelés parce que Jacques BernouUi les a signalés le premier à l'attention des analystes. Cette suite de nombres revient souvent dans les développements en séries, et jouit de propriétés curieuses par rapport aux sommes des puissances ^ tant directes qu'inverses, des nombres naturels. Prenons , par exemple , fx=zaf^ : Féquatioa (2) nous donnera

— B3 -^^ ^\ . ^ — o?"»-^ + etc. ,

ce qui met en évidence la loi des formules {m) du n^

La suite

A, — A3 + A5 — A7 + etc.

est convergente, mais la suite

B, — B3 + B5 — B, + etc.

ne Test pas : les nombres B^^, croissant au delà de toute limite. Voici les valeurs des premiers termes de cette suite, exprimées en fractions ordinaires et décimales :

Bi=^ =so,i66666. . . ., Bg= -^ =0,075757. . . .,

B3 — ,. o,o33333. . . .,B,,= — =— =:o,253ii3. . . ., 00 ' " 2730

B5=— =0,023809 . • • •> Bia= ^ =1,166666. . . .,

B — ^ o,o33333. • . ., B,5=-t; — ^=7,0021 56. • . ., etc. ' 00 5io

594. Admettons que l'intervalle X' — x^ soit un multiple exact de la différence A^ : on tire de l'équation (2), en passant des intégrales indéfinies aux intégrales définies ,

La formule (2), communément attribuée à Euler, et désignée par le nom de ce géomètre, ou la formule (3) qui en est une transformation , comportent une double application, selon que l'intégrale j^r^ est ou n'est pas

FORMULE d'eUIbR. 463

susceptible de s'exprimer en fonction de x sous forme finie. Dans le premier cas, il arrivera le plus souvent que l'intégrale 2*o^ °® rentrant pas dans la catégorie de celles auxquelles s'appliquent les procédés d'intégration indiqués ci-dessus, on n'en pourrait obtenir la valeur exacte que par une sommation effective , opération laborieuse et souvent impraticable, si la différence x — Xo contient un très-grand nombre de fois la différence A.r. On regardera, dans ce cas, le terme

hff""^

comme une valeur approchée de l'intégrale 2^^, et la correction qu'il faut apporter à cette valeur approchée sera donnée en série par la formule (3). Si, au contraire, on ne peut pas obtenir en fonction de x l'intégrale indéfinie j()^^ et qu'il s'agisse de calculer par approximation la valeur de l'intégrale définie

on partagera l'intervalle x — Xq en parties égales ^Xy assez petites pour que le produit

Aa?y fx fournisse une valeur approchée de l'intégrale cherchée ;