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de manière pourtant que la grandeur du nombre — - — -'

ne rende pas trop laborieuse la sommation arithmétique par laquelle on obtient ^^ fx. La correction que doit subir cette valeur approchée sera encore donnée en série par l'équation (3) qui remplit ainsi le double office d'une formule de sommation et d'une formule de quadrature.

464 LIVRE vin. — chapitrk ii.

Si nous substituons le signe S au signe 2, selon la notation convenue [585], nous aurons, au lieu des formules (a) et (3),

-h AsAîF^ . f^x — etc. , (4)

595. Toutefois , pour légitimer , eu général y Temploi de ces séries qui ne sont pas toujours convergentes , il est indispensable de pouvoir assigner des limites à Terreur que l'on commet en arrêtant la série à un terme de rang quelconque [a 5]. Or, M. Poisson a donné une méthode par laquelle, en même temps qu'on obtient la série d'Euler , on trouve l'expression en intégrale définie du reste de la série, et par suite la limite du reste. L'importance du sujet nous fait une loi d'indiquer ce perfectionnement essentiel , apporté à une formule fondamentale de l'analyse.

Admettons, pour la simplicité des calculs, que les limites des intégrales dans la formule d'Euler soient égales numériquement et de signes contraires , ce qu'on peut toujours obtenir en changeant l'origine de la variable, et reprenons la formule (/w) du n® 433

qui subsiste pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites des intégrales. Aux limites mêmes on a

Posons n:=nAXj et donnons successivement à a: les

FORMULE d'eULER. 465

a/i — 1 valeurs équidifférentes

— (/» — i)Air, — {n — a)A:r,.... — Aor^o, Aar,2Aj7, ....(« — i)Aa:,

pour lesquelles l'équation (7) subsiste : en prenant la somme des valeurs correspondantes de/ir, et ajoutant la demi-somme des valeurs de/i:, relatives à ^=±a, on a

an — I

Nous avons remplacé ^ par x sous les signes d'intégration y ce qui peut se faire maintenant sans équivoque, et nous avons posé, pour abréger,

i% 'MTÇ ZiiQ (n — fW

»=I-|-2COS h^COS h^lCOS \-, . . ,-|-2COS^ i^ •

La quantité/^ se réduit à a/i — i toutes les fois que i est un multiple de an. On a d'ailleurs

iiç , (n — iVic

pcos — =p + cos lie — cos -^ — >

d'où l'on tire/?=— cos ^7^, pour toutes les autres valeurs

de L Cela posé, on prendra la somme 2* en admettant

d'abord que cette valeur dep ait lieu sans exception : on

• fera ensuite iz=ain, et l'on prendra une seconde somme

27 9 relative à ^^, en faisant dans le cours de cette autre

sommation

p = 2n — I + cos 2i'/i7c = 2/1 .

La série périodique , contenue sous le signe /*, sera la somme de ces deux séries partielles, et à cause de l'équation

cos wc cos — ï— = cos — ^ ^ ,

nùkX a ^

on conclura de cette remarque

T. II. 3o

En conséquence, l'équation (9) donne

ou bien, en vertu de l'équation (8),

Bien ne s'oppose maintenant à ce qu'on remplace i' par /\ et à ce qu'on change l'origine de la variable x ou la forme de la fonction f^ de manière que les limites des intégrales soient quelconques. Ainsi, nous écrirons

Posons

ï+^+^ + ^+^*<^- =^(2^r A,^, ,(ii)

et prenons garde qu'aux limites de l'intégrale, pour lesquelles la valeur de la variable x est supposée un multiple exact de Ao:, on a

HVKX . ^ilQX

cos--r — = I , sin -T — = o :

le procédé de l'intégration par parties donnera

FORMULE d'eULER. 467

596. En rapprochant les équations (lo) et (la), nous retrouvons la formule d'Euler telle que la donne 1 équation (3); et de plus nous obtenons en intégrale, définie la valeur du reste négligé quand on arrête la série à un terme de rang quelconque. Les coefficients A,, A3, etc., définis par l'équation (i i), ne peuvent être autres que les coefficients donnés par les équations (A), ou par le développement de la fonction (a), suivant les puissances de a. Ainsi, l'équation (11) exprime une propriété trèsremarquable des coefficients A, ou des nombres de Bernoulli qui s'en déduisent.

A cause de l'équation (11) on a évidemment