r- - cos-r — < -(aw)*» A„i, ' i^ Ar a

Désignons de plus par >.„ la plus haute valeur numérique que puisse acquérir la fonction f^^^x entre les limites de l'intégrale : on aura, abstraction faite des

signes ;

/Ar\»» Ar^cD I . 2£7tr1 ., , ,

< \^{a: — Xo) A^«, Ar^~ .

S'it s'agit d'appliquer la formule d'Euler à. une quadrature, on pourra toujours prendre A^ assez petit poiir que la limite supérieure du reste R„ tombe au-dessous de toute grandeur donnée. Si la même formule est appliquée à l'évaluation d'une somme ou d'une intégrale aux différences finies, la différence A.r étant don-

468 LivuE vin. — chapitre ii.

née, il pourra se faire que la valeur de R„ n'aille pas en décroissant indéfiniment pour des valeurs indéfiniment croissantes de l'indice n : ce qui n'empêchera pas de faire usage de la formule, quand la limite supérieure de R„ pour une valeur convenable de l'indice n, sera de l'ordre des quantités négligeables.

Lorsque la fonction / W^ conserve le même signe dans toute l'étendue de l'intégration, on a aussi, abstraction faite du signe ,

ou

c'est-à*dire, que le reste négligé est numériquement plus petit que le dernier terme conservé.

La formule d'Euler se trouve en défaut quand les différentielles impaires de fa s'évanouissent, ou, plus généralement, sont égales a^x deux limites de Tintégrale : le second membre de l'équation (lo) cesse alors de pouvoir se développer en série procédant suivant les puissances ascendantes de A^.

597. En général, lorsque la fonction /r conserve le même signe dans toute l'étendue de l'intégration, on peut prendre Ax assez petit pour que la valeur numérique du rapport

tombe au-dessous de toute grandeur assignée, à cause des changements de signe Qu'éprouve le facteur à&fxdx dans la première intégrale. Si, en outre, t^ est une quantité négligeable comparativement à la distance x—x^ des limites des intégrales, il est permis de né-

FORMULE d'eULER. 469

gliger, non-seulement la première intégrale (i3) vis-àvis de la seconde, maisencore les termes ^^isfa'^^f^^ vis-à-vis de l^x 2^^ fx , et Ton a

de sorte que , relativement à nos moyens d'expérimen-> tation et de mesure , les choses se passent comme si un système de parties discontinues se transformait en un tout continu. C'est eu vertu de ce principe que, s'il s'agit^ par exemple, d'évaluer l'attraction d'un corps sur un autre, on considère les deux corps comme des masses continues, en faisant abstraction des pores ou interstices dont Texistence est mise hors de doute par une foule de phénomènes, mais dont les dimensions sont inappréciables pour nous. On admet que la masse des particules groupées dans un espace de dimensions inappréciables, et qui pourtant peut contenir un grand nombre de particules, se trouve uniformément répartie dans tout cet espace; et l'erreur commise doit être, par rapport à la grandeur mesurée, du mêm)e ordre que les dimensions du volume élémentaire par rapport aux dimensions des corps observés ; c'est-à-dire , que l'erreur est inappréciable par nos moyens de mesure.

Au contraire, lorsque la fonction fx change de signe dans l'étendue de l'intégration, les deux termes du rapport (i3) peuvent avoir des grandeurs comparables, malgré la petitesse de A.r. M. Poisson a tiré de cette remarque une explication ingénieuse de quelques-unes des lois auxquelles paraît soumise la constitution moléculaire des corps.

En exposant, au commencement de ce Traité, les principes du calcul infinitésimal, nous avions pour

tâche de faire bien comprendre comment l'on est parti de la notion des variations discontinues. pour adapter le calcul auK variations continues qui se manifestent ou semblent se manifester dans la plupart des phénomènes naturels. Ce qui précède contient l'indication d'un procédé inverse, par lequel on introduit , pour la commodité du calcul, une continuité fictive dans des variations effectivement discontinues. Ce procédé trouve surtout son application à propos de l'évaluation des rapports de grands nombres , évaluation qui revient sans cesse dans la théorie des combinaisons et des chances y et pour laquelle on fait un usage continuel d'une formule due à Stirling, qui se déduit dé celle d'Euler établie cidessus, comme nous allons le montrer dans le paragraphe suivant.

§ a. ApplicatioD à la formule de Stirling.

598. Proposons-nous d'appliquer la formule d'Euler à l'évaluation de la somme des logarithmes des nombres entiers , depuis i jusqu'à x inclusivement : nous aurons A^ = I , y Xo^xdx z= X log X — ^ -f- const. ,

En conséquence , la formule (4) donnera

log [i.2.3....:r) =C+^ log X — x-\ — log^ -\ '

3.4.^' 5.6.j;^ y,8.x'^ Nous en déduirons, en remplaçant x par ax,

log[i.2.3...(2^ — i)2x]=C'h^x\og2x-'2X'i — log^jc-i—j^ — eic.

Mais on a identiquement