i)2jc=2*.i.2.3....a;.i.3.5 [2x — i

APPLICATlOir A LA FORMULE DE STIRLING. 471

et par conséquent , .

log ( i.a.3 a:) + Ipg [i.3.5 (a^— i )]

==:C+a?log2 +2^l6ga: — iMS+-iog2x+ j etc.

En combinant, par voie de soustraction, l'équation (j4) avec celle-ci, nous obtiendrons cette formule où n'entre plus là constante C,

log[i.3.5...(2x-i)]=f a?+^Jlog2+a?logj:--^~ + etc. (i5) On a, d'autre part,

et en combinant ces équations avec les formules {iJ^)et

(i5), d'après les règles du calcul logarithmique, on

trouvera sans difficulté

*^S Li.3.3.5.5.7....(2x— 3(2^i)(2:r- i)J ^

3B, H 1« etc.

Maintenant, quand on fait converger x vers l'infini, le premier membre de l'équation , d'après le théorème

de Wallis [404]? converge vers la limite log -^, tandis

que le second membre se réduit , pour x= 00 , à 2 C — a log 2 , d'où l'on conclut C = log. |/^ , et par suite

log(i.2.3 ^) = log W^^ rf- a: log ic — ^ + |log^

Faisons dans cette équation x= 1000, multiplions par le module des tables [64] les termes non affectés du signe log. y afin que la somme se rapporte à des logarithmes tabulaires, et arrêtons la série au terme

qui a pour coefficient B3 : nous trouvterons

log. vulg.(i.2.3....iooo)= 2567,604644^221328 , *

valeur exacte jusqu'à la treizième décimale. Si l'on prenait axi=io, et qu'on poussât jusqu'au terme ajBTecté du coefficient 6,3, on trouverait une valeur exacte jusqu'à la vingtième décimale (').

Ce calcul nous apprend que le nombre i .2.3 . . . 1000, exprimé dans notre système de numération , a 2568 chiffi*es^ dont les quatre premiers sur la gauche sont 402 3 ; de sorte qu'il se trouve compris entre

4024 . 10»*^ et 4o23 . 10**^ .

Dans la théorie des chances , on a précisément à assigner les rapports de très-grands nombres que les règles de l'analyse combinatoire donnent sous forme de fkctorielles , et dont le calcul arithmétique serait tout à iait impraticable. Or, pour assigner ces rapports avec une approximation suffisante, comparable à celle que comporte la déterminatidïi des constantes empiriques, il suffit évidemment de déterminer pour chaque terme du rapport, comme on vient de le faire pour la factqrielle 1.2.3. . .lODO, la caractéristique de son logarithme et les premiers chiffi*es de la partie décimale.

599. Si Ton faisait dans l'équation (14)^^= i, on en tirerait

C=i '-+ ô4— p4-4t— s ^H ^ — etc. ,