APPLICATION A LA FORMULE DE STIRLING

C=i:i—o,o8333... ,+0,00275.. ..—0,00079,.. .4-0,00059... — o,ooo84.».. +0,00209,... — etc. ;

ce qui suffit pour manifester la divergence de la série, et pour montrer qu'elle ne peut servir à déterminer la valeur de la constante C.

La série qui procède suivant les puissances impaires et négatives de Xy dans les équations (i4) et (i5), est pareillement divergente; mais quand on prend pour x le nombre 1000, le terme affecté de B3 n'influe déjà plus que sur les décimales d'un ordre supérieur au 11^; et il faudrait embrasser un nombre immense de termes pour que la divergence de cette série se manifestât, par suite de l'accroissement progressif des coefficients B. Si l'on prenait seulement j; = 10, le terme affecté de B5 serait moindre qu'une unité décimale du 8^ ordre ; et le nombre de termes qu'il faudrait embrasser, pour rendre sensible la divergence de la série, serait encore trop grand pour qu'on pût, dans la pratique, en effectuer le calcul.

Cependant il suffit que la série finisse par diverger pour qu'on ne puisse, en l'employant, attribuer aux calculs une rigueur mathématique, que sous la condition d'assigner une limite au reste négligé [aS]. Or, cette limite , dans le cas particulier, se déduit avec une grande simplicité de celle que M. Poisson a assignée au reste de la série d'Euler. Il faut seulement , pour obtenir des limites assez resserrées, changer l'origine de la sommation. Ainsi ^ nous pourrons décomposer la somme S' log X en S'° log .r -|- S ,' log x , et rien n'em* péchera de calculer directement la constante S 7 log x avec toute l'exactitude désirable. On aura ensuite

j^ \og X :=z a^\og X — x+ I — iilog II

1.2 \ii xj 3.4 \ii' ^V 5.6\ii* ary Quand on arrête la série au terme affecté de B5, le reste négligé tombe, d'après ce qui précède, au-dessous d'une unité décimale du 8^ ordre, quelle que soit la valeur x assignée à la limite supérieure de Tintégrale. Au surplus ; M. Liouville a mis le reste de la série (16), arrêtée au terme affecté de Bi,..,, sous la forme

» ^, ., . / er^ a*» P»»+*> (ôa) da ,

fa désignant la fonction . [^9^] 9 ^^ ^ ^^ nombre

compris entre zéro et Tunité ('). Si donc Ton représeote parX9,|.a le maximum numérique de la fonction f^*'+'^ entre les limites o, 00 , le reste négligé sera numériquement plus petit que

^!î±î r e--^ a« doL = ^îi±* —

i.2.3..(2/-h2)y o (ai-+- 0 (2/-h2>r*»+'

Quand on ne conservé dans la série (16) que les termes indépendants des coefficients B, ce calcul donne pour l'expression du reste négligé

e-^ P (ea) doL , et la valeur maximum de la fonction

est, comme M. Liouville le fait voir, f''(o) = |=:B,. Dans ce cas, par conséquent, le reste négligé tombe au*

dessous de — i; et si o: est de l'ordre des mille, le reste

(') Journal de mathématiques, tom. IV, pag. 817.