APPLICATION A LA FORMULE DE STIRLING

est moindre qu'une unité décimale du 4^ ordre. Ce calcul, où l'on met à profit la détermination exacte, de la constante C , a donc , sur celui que nous avons indiqué, l'avantage d'atténuer la valeur assignée à la limite du reste négligé , quand on supprime dans la formule de Stirling * tous les termes où entrent les nombres de Bernoulli. Mais, pour que cette suppression soit permise, il faut que x désigne un grand nombre , au moins de l'ordre des mille : au cas contraire , on arrive plus simplement, par les considérations que nous avons présentées, à une valeur de la limite du reste, dont la petitesse suffît dans toutes les applications.

§ 3. De l'interpolation.

600. Nous avons eu plusieurs occasions de parler du problème de l'interpolation [21], dont l'objet est d'assigner une fonction continue, susceptible d'une expression mathématique, laquelle prenne, pour certaines valeurs de la variable in'dépendante, des' valeurs déterminées , qui sont celles d'une autre fonction, continue ou discontinue. Lorsque cette dernière fonction est continue, et que les valeurs entre lesquelles il s'agit d'interpoler sont suffisamment rapprochées les unes des autres, on admet que les deux fonctions se confondent sans erreur sensible dans l'intervalle de ces valeurs; par la raison que deux courbes se confondent sensiblement dans l'intervalle des points qui leur sont communs, lorsque les points communs se trouvent suffisamment rapprochés, et que ni Tune ni l'autre courbe n'éprouve de solution de continuité dans l'intervalle.

Le problème de l'interpolation est évidemment indé-

terminé de sa nature . : sous certains rapports il peut être considéré comme une application de la théorie mathématique des chances ; nous n'avons à en traiter ici qu'en tant qu'il^se rattache au calcul des différences finies.

Reprenons la formule des n^ 4^ et 58^

n. n(n — i)., n(n — iV«— a)., .

où/ est une fonction de la variable x, donnée pour lés valeurs ûo=o, x=.bjc, jJ=:aAj;, . . .x=^nAx. Posons nbJcz=Xyj^=zfxyf^=:f{p) : cette formule deviendra

A=/(o) + 7:^A/(o) + ^^)A-/(o) + etc. (.7)

Si la valeur ^^ ne correspondait pas à x=Oy mais à j:= J7o9 il faudrait remplacer, dans le second membre de l'équation précédente , x par x — x^ etf{o) pavfxo. Lorsque, dans la formule (17) dont l'analogie avec la série de Maclaurin est manifeste, on fait x = o, x==:^x, x=z*i^Xy . . .xt=n^Xj on retombe sur les valeurs jKo? /n^av • -/nî qui ont servi à former les différences A^„, A^o? • • - A"/o ' ™ais on peut admettre aussi que l'équation (17) subsiste pour toutes les valeurs intermédiaires de x^ et alors cette équation remplit le but d'une formule d'interpolation. Rien ne s'oppose à ce qu'on la mette sous la forme .

fix =: Ao -4- Aj^p + Aj^:' -f- k^^ + etc. , (18}

Ao, Ai, Al,. « . A„ désignant des constantes données. U faut supposer que les différences A, A*, A^, etc., vont en diminuant, de manière qu'on puisse s'arrêter aux différences de l'ordre n, en négligeant celles des ordres supérieurs; et alors les formules (17) ou (18) ne contien-

DE l'interpolation. 477

Tient qu'un nombre fini de termes; en sorte que la fonction yi se trouve remplacée par une fonction rationnelle et entière de x.

601. Si les différences des ordres supérieurs à Tordre n étaient rigoureusement nulles ^ rien ne s'opposerait à ce qu'on prolongeât indéfiniment, en avant et en arrière du terme pris pour origine, la table des valeurs à^fxx soit qu'on employât à cet effet la formule (17); soit qu'on fît de proche en proche le calcul des différences des ordres inférieurs par de simples additions. On peut encore se permettre de prolonger la table , si les différences de l'ordre n sont seulement très-petites, en les traitant comme nulles : mais alors il est nécessaire d'avoir, au delà des limites primitives de la table, quelques valeurs connues de/ic, servant de repères, et dont l'accord avec les valeurs calculées donne une garantie suffisante de l'exactitude des valeurs intermédiaires, aux quantités près de l'ordre de celles qu'on a droit de négliger. Les limites entre lesquelles- on aura été autorisé à prolongea la table, sont celles entre lesquelles on sera en droit d'employer l'équation (17), comme formule d'interpolation.

Lorsque les tables sont dressées pour des valeurs de la variable, tellement rapprochées qu'on puisse, dans une certaine étendue, considérer les différences du premier ordre comme constantes, et les différences des ordres supérieurs comme nulles, l'interpolation se réduit au calcul des parties proportionnelles, ainsi qu'on l'a déjà souvent expliqué.

602. Quand on applique la formule (3) au calcul numérique de l'intégrale définie / fxdx^ il petit

arri-

ver que la fonction fx ne soit donnée que par une table qui fournit seulement les moyens de calculer d'une manière approchée [44] l^s valeurs des Aéviwéesfxjfx^ fxy etc. Admettons que cette table donne les valeurs de/i pour des valeurs équidifFérentes de Xy l'intervalle des limites x — x» étant toujours un multiple de Aj:. Employons comme quantités auxiliaires une variable z et une fonction

de sorte qu'on ait

f(»)(o)=/(")^— /(")^o , A^f (o) = A«/j;— A«/.r, ; (19) et supposons que la variable z prenne successivement les valeurs o^Ao;, 2Ax, 3À.r, etc. : la formule (17) donnera, par le 'simple changement de/ en f e.t de x en 2,

Si maintenant, conformément au principe de l'interpolation, on regarde cette formule comme subsistant pour des valeurs quelconques de z^ on pourra difFérentier les deux membres comme des fonctions continues de z ; et en faisant ensuite z==.q^ on obtiendra

A^f (o) = Af (o) — i A'f (o) + i A^f (o) ^ \ A*f (o) + etc., . Aa;3r'(o) = A'f(o) — |AH*(o) + etc., etc.

Remettons pour f (o), f '"(o), . . . ,Af(o), A"f(o), . . . leurs valeurs données par les équations (19), et substituons dans la formule (3) ; il viendra

y^ fxdxzzztix [^2;; /^+^/x— ^/ar„— ~(A/j:— A/xo) ^(A/^-AVi;.)-i|(AV^-A3/a;,) ^Ay.-.A^A.)^g^JA^^^^^^^

: DE l'interfolatioit. 479

formule donnée par Laplace daps la Mécanique céleste. Il faut supposer que la table des, valeurs de^ s'étend au delà de la limite supérieure de Tintégrale, pour qu'elle détermine implicitement lés différences A/i, Ay2r:, A^r, etc., relatives à cette limite supérieure»

603. Le problème inverse de l'interpolation consiste à déterminer la valeur, de x qui répond à' une Taleur donnée fx de la fonction f. Quand on emploie, comme formule d'interpolation, l'équation (17), la solution de ce problème revient à la résolution d'une équation algébrique de degré rtj A* /(o) étant la plus haute différence conservée dans la formule. Mais, au lieu de faire usage pour cette résolution des méthodes générales dont l'application est si pénible ^ on a recours à des approximations successives. Ainsi l'on posera

tix fœ — f{o) -¥œ lif{p) ' F^ étant une fonction de x qui a pour valeur

ir Vi.a.A/(o)"^W 'Aax Vi.2.3.A/(o)"*"^'^- On prendra, pour une première valeur approchée de Xy

pour seconde approximation

^^— FÇ, A/(o) ' P"'* ^*— FÇ. A/(o) '

et ainsi de suite.

Le problème de l'interpolation comprend ^ comme cas particulier, celui de Xintercalatioriy qui consiste à insérer, entre les valeurs données par une table ^ un nombre déterminé de valeurs intermédiaires. On sup-

VAr

pose ordinairement que les termes intercalés doivent être équidistants , comme les termes de la table primitive.

604. Si la table ne donnait pas les valeurs de la fonction pour des valeurs équidifFérentes de la variable indépendante, ainsi qu'on Ta supposé dans ce qui précède, il faudrait recourir à d'autres formules d'interpolation. On pourrait en donner dont la construction se rapporte au calcul des différences finies; mais il est plus simple^ et il suffit pour notre but, de poser directement avec Lagrange

^oi^ijj^a?' • 'ïn désignant toujours les valeurs données de la fonction y^ qui correspondent aux valeurs Xoi ^ij ^^f . .^n de la variable .r; et X, étant june fonction de Xy qui se réduit à l'unité pour x-=^Xi et à zéro pour oc=Xf^ quand l'indice /' a toute autre valeur que i. Il est clair qu'on satisfait à cette double condition, en prenant

(j;r-x,){xi—x^) (xr-^n) '

on pourrait d'ailleurs y satisfaire d'une infinité d'autres manières, parce que le problème de l'interpolation est essentiellement indéterminé.