CHAPITRE m
THÉORIE DES ÉQUATIONS AUX DIFFERENCES FINIES , ENTRE DEUX VARIABLES DISCONTINUES.
§ ]^^ Intégration, en termes finis, des ëqaations tux diffërences
finies, à dent variables.
605. La théorie des équations aux différenccfi finies^ sans être^ à beaucoup près, aussi féconde que celle des équations difFérentielles en applications importantes , mérite pourtant d'être exposée avec quelque détail , même dans un traité élémentaire. La comparaison des deux théories manifeste des analogies et des contrastes qui jettent de la lumière sur l'une et sur l'autre, et qui font mieux ressortir les lois générales de l'analyse.
Nous ne traiterons avec quelque développement que des équations aux différences entre deux variables x et r, et nous le$ envisagerons successivement sous deux points de vue : d'abord comme exprimant la loi de la série des valeurs de^, qui correspondent à une série de valeurs déterminées de x; ensuite comme exprimant une propriété de la fonction j- qui croît, ainsi que la variable indépendante x, sans discontinuité.
On pent toujours supposer que l'intervalle Sx dés valeurs de la variable indépendante est constant, et prendre cet intervalle pour unité [583]. Si bx n'était pas un nombre constant, mais une fonction de x seul, ou de j: et de y^ on pourrait regarder x ety comme des
T. II. 3i
fonctions du nombre entier /, positif ou négatif, qui fixe le rang du terme Xi dans la série des valeurs de x, et celui du terme correspondant^,- dans la série des valeurs dej*. Les variables x eX y seraient alors définies eu fonction de l'indice / par deux équations aux différences, auxquelles on pourrait appliquer le procédé d'élimination indiqué au sujet des équations différentielles [i65], de manière à arrivera une équation finale d'où Tune des variables Xyjy et ses différences se trouveraient chassées. Dans cette équation finale , qui serait en général d'un ordre supérieur à celui de l'une ou de l'autre des équations proposées, la variable indépendante / varierait par intervalles constants, égaux à l'unité.
Au reste, dans la plupart des problèmes auxquels s'applique l'intégration des équations aux différences, en tant qu'elle a pour but d'exprimer le terme général d'une série, la loi de génération de la série, dont l'équation aux différences est la traduction , se trouve immédiatement exprimée au moyen de l'indice qui remplit ainsi , sans qu'il soit besoin de transformation préalable, l'office de variable indépendante.
606. Une équation aux différences de l'ordre /^, dans laquelle la variable indépendante x a des incréments constants, égaux à l'unité, peut être représentée généralement par
F(x3j-,Aj,A>, A"7)=o ; ou par ¥{xj^,^^y •J«)=o ,
si l'on exprime les différences successives en fonction des valeurs consécutives de jr [58a]. En conséquence ou tire d'uue équation du premier ordre, ^^ exprimé par le moyen de^; d'une équation, du second ordre, ^^ exprimé au moyen de ^, et de ^; et généralement une
équation du rP ordre fait connaître la valeur numérique d'un terme de la série, au moyen des valeurs des n termes précédents. Réciproquement, l'intégrale de l'équation aux différences, ou l'expression analytique du terme gé-r néral de la série engendrée , doit contenir autant de constantes arbitraires qu'il y a d'unités dans l'exposant n de . l'ordre de l'équation : la détermination de ces n constantes devant équivaloir à la détermination des n termes qu'il faut se donner arbitrairement , pour pouvoir construire numériquement la série au moyen de l'équation proposée. Ces remarques sont tellement analogues à celles qui se présentent dans la théorie des équations différentielle!,, qu'il suffît de les indiquer ici , sauf à en développer bientôt certaines conséquences, après que nous aurons examiné quelques cas où les équations aux différences comportent une intégration proprement dite : en ce sens qu'on peut exprimer analytiquement le terme général de la série correspondante, avec des constantes arbitraires en nombre égal à celui qui marque l'ordre de Téquation.
607. Considérons d'abord l'équation générale du premier degré et du premier ordre
on posera, comme au n'* 44^ 9 ^=0^, ce qui donnera
En raison de l'indétermination des fonctions ^ yiy cette équation est susceptible de se décomposer dans les deux suivantes
ÔA^ + Aô. A^=: £r , A6 4- ^fx = o .
Pour faciliter l'intégration de la seconde, faisons 6=^* : il viendra [SSg]
AO =:^ (tfA« — I ) == 6 ( ^Aa — 1 ) ,
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d'oîi
et enfin
en désignant pair Fa; le produit de toutes les valeurs que prend la fonction i—fa entre les limites de Tintégrale 2. Cette fonction F ainsi déterminée, on aura
/ = Fx.S- F(a;+i)- Dans le cas oh la fonction fx se réduit à une constante i—dj cette formule donne
et si la fonction fx se réduit aussi à une constante i, il vient
r= a' (7 r-ï + const.) •
En général, quand la fonction / devient constante, l'intégration s'effectue toutes les fois que f désigne une fonction rationnelle et entière.
On peut déjà remarquer que, si la constante a se trouvait négative, il serait impossible de considérer/ comme une fonction continue de x [a], à moins que la constante arbitraire ne vînt à s'évanouir, ce qui ferait disparaître a* de l'équation précédente. Mais dans l'hypothèse 0Ù7 désigne le terme général d'une série, et x un indice qui ne comporte que des valeurs entières, rien ne s'oppose à ce que la constante a soit négative : il en résuite seulement que les valeurs consécutives de a' sont alternativement positives et négatives.
EQUATIONS AUX J)IFF£a£IfC£S FJKJES. 485
608. Considérons Téquation linéaire aux diffërences, d'un ordre quelconque^ qui a pour forme générale
P, Q,. . ,U, V désignant des fonctions de a: , ou (ce qui revient au même, attendu que les différences des divers ordres s'expriment en fonctions linéaires des valeurs successives de la variable dépendante)
On prouve, comme pour les équations différentielles analogues, que l'intégration de (a) se ramène à celle de Téquation '^
7^4^+ Pjar+«-« -+- Q7a?+»^^+ 4- Ur,==; O . (6)
Si l'on désigne par^,^'^,/**^*^ etc, des valeurs de^, propres à vérifier l'équatiou (é), celle-ci a pour propriété caractéristique, comme l'équation différentielle correspondante, d'être encore vérifiée par la valeur ^,=2. dj'J^'^f les coefficients Q désignant de$ constantes arbitraires. Par conséquent, si l'on connaît n solutions ou intégrales particulières de l'équation (b)j on en aura l'intégrale générale avec les n constantes exigées. L'ordre de l'équation à intégrer s'abaisse d'une unité, si l'on connaît une intégrale particulière, et ainsi de suite [462].
Les n intégrales particulières s'obtiennent très-aisément quand les coefficients P, Q,. . «U sont des constantes; car, si l'on pose ^,=7»% d'oîi^,4,i=/7i*+', on a , pour déterminer m , l'équation algébrique
mr -4- Pm»-'* + Q/w»-* + -f- U = o ; (m)
et si l'on eq désigne les racines par /w„ w„. . ./w^, l'intégrale générale de l'équation (6) prend la forme j^=C.w * -f- C^/ -i- -4- C,/w/ ,
609. Nous appliquerons ce qui précède à un problème assez curieux d'analyse combinatoire que Ton peut énoncer comme il suit, en convenant, pour plus de brièveté, d'appeler le nombre m \ exposant d'une combinaison m à m :
« Sur le nombre total des combinaisons que l'on peut faire avec un nombre d'objets désigné par Xj en les prenant là I, a à a, 3 à 3,. . .;i; à :r, déterminer séparément le nombre de celles dont les exposants^ divisés par un certain module n^ donnent pour reste l'un des nombres G, I, a, 3,. . .« — I. »
Désignons, par^*'^^*),^*),, , . ^"^ les nombres à déterminer, qui sont autant de fonctions discontinues du nombre x. Si x augmente de l'unité ^ il est clair que le nouvel objet à combiner^ introduit dans les combinaisons de la classe r (ou dans celles dont l'exposant , divisé par n, donne pour résidu r), les fait passer à la classe r-H i, et que de plus cet objet , pris seul, donne une nouvelle combinaison à exposant i . En conséquence on a
et par suite
Ay-) = Ay»*-') , Ay 0 = A7<») , Ay*> = Ajr<'> , ....
Ay«-'J=A7^"—^ ' (C,;
£n continuant de prendre les différences successives, jusqu'à ce qu'on soit arrivé à celles de l'ordre /i, on trouve finalement
Ay «>)= A^—y " ' ^, Ay '^=A**~*y®), .... Ay'»-'*)=A'^y '*~*).(c,)
L'élimination entre les équations (c,),(c,). ..(<?„) donne
A y '5=/*^, Ay*>zz=/*^, Ay^-o^jc-'-o . {i)
Chacune des équations (d) est de la forme b.^jr,^=ijr^^ d'oïl l'on tire, en exprimant les différences en fonction des valeurs successives [582],
Quand; /i est pair, le terme en^, disparaissant, l'ordre de l'équation s'abaisse d'une unité, et il vient
Pour le cas de n impair on a
J-x+n •/ar+n-i'^ — — •Xa-^-a-x •••• 27^ = 0 .{d^)
L'équation (/») devient dans le premier cas
et dans le second
d'oî»[79] , o/«
m= I 4- cos — ± K — I . s'n-r-
VK / «Ç . y • ^^\
=2COS— (cos — ±V^— x.sm— j >
«t en transformant convenablement les exponentielles imaginaires,
acos-J cos— +M,(^2COS— jcos-^j-+etc.r ^^^
+Tf/2C0s^) sin^ + N,(^2Cos— jsm— 4-etc.
Maintenant, si l'on prend successivement pour 7, chacune des fonctions y^),/"^/''"^^ on déduira de la formule {e) les valeurs de toutes ces fonctions de a:, qui ne différeront que par la détermination des constantes
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a]4)itraires G, M., N. , M, , N», etc. Quant à l'équation (e/o) 9 il est clair que h formule (e) en donnera aussi Tintégrale, pourvu qu'on ajoute au second membre le terme constant — i . D'ailleurs j par une conséquence très-connue de la formule du binôme de Newton , j<o) ^ j{t) ^ j(%) ^ 4- /(•*•*) rr 2* I .
En prenant, par exemple, nz=:l^^ et en déterminant convenablement les constantes arbitraires, on trouve
y") = -2 . 2* -f- - f ^1 ] 008 -j TCX l ,
/»)=i.2--^(^l/iysin^irx.
610. On parvient quelquefois à exprimer les intégrales des équations aux différences, au moyen d'intégrales définies ordinaires. Pour faire connaître l'esprit de la méthode, prenons l'équation
dans laquelle nous supposerons que m est une constaatf positive. Posons
n désignant une fonction de o dans laquelle x n^entrc pas : il s'agit de déterminer cette fonctioù et les limites de Tintégrale, de manière à satisfaire à l'équation proposée.
Cette équation donne
ou
mfQ[i 4-w)o)*rf(ji)-|-yil(aw-:|-o]i*)rf. «*=o . (J']
Mai& on a, en intégrant par parties^
Donc, si Toh prend pour les limites de l'intégrale deux racines de Tëcpiation
réquation (/*) deviendra
et l'on y satisfera indépendamment de x^ en détermi* nant la fonction Q par l'équation difFérentielle
qui. donne
G désignant une constante arbitraire. Après qu'on a substitué cette valeur de û dans l'équation (u), elle devient
C ( aw -f- co* )* =: Q ,
et comme on a supposé le nombre m positif, on y satisfait en prenant pour les limites de l'intégrale
w = o , M= — a , d'où
L'expression deviendra plus élégante, si l'on fait
co ^=cos a — I , 2u) -h w* = — sin* a , ^/cd = — sin oidaL , ce qui donne
/a.= C ( — i ) / ( I — COS «)* (sin a)*^' rfa.
On a d'ailleurs, pour déterminer la constante arbitraire C, au moyen de la valeur initiaïe^o? l'équation
611. Pour donner un exemple d'intégration, dans \e cas où l'on ne suppose pas constante la différence de l'une des variables , concevons qu'il s'agisse de déterminer en fonction de x la quantité /« qui satisfait à lequation
/.a,=:jr/ — a, (g)
OU le terme général de la série des valeurs de ^ que ron construirait avec cette équation : les valeurs initiales de x, y étant x^^ y^. Soit i l'indice de deux termes qui se correspondent dans la série des valeurs de x et dans celle des valeurs de jr : on aura
L'équation {g^ est linéaire et a pour intégrale Si l'on met la valeur initiale jTo sous la forme
l'équation (^,) donnera
jr,=:c' + ±, X.=:C*+^, ^^=0-'+ -^
et par suite
On doit remarquer que la dernière équation, qui est l'intégrale complète de (g)y renferme les deux constantes arbitraires et indépendantes x^, c, ou x^^j^oj parce qu'en effet l'équation (^) ne peut être construite qu'après qu'on l'a transformée dans le système des équations (^,) et (g^)^ et qu'on s'est donné arbitrairement Xoj y^*
EQUATIONS AUX DIFFÉRTENCfiS FINIES. 491
Ç a. De la construction arithmétique des équations aux différences finies, à deux variables, — Conséquences relatives à la multiplicité des intégrales générales, à l'existence des intégrales singulières et au passage du fini à Vinfiniment petit.
